已知橢圓M：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），D（2，1）是橢圓M的一條弦AB的中點，點P（4，-1）在直線AB上，求橢圓M的離心率（　�。�
A、
2
3
B、
2
3
C、
1
2
D、
2
2
分析：設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2），代入橢圓M方程并作差，化簡整理得
y1-y2
x1-x2
=-
b2
a2
•
x1+x2
y1+y2
．由中點坐標公式與直線的斜率公式，結(jié)合題意化簡得x1+x2=4、y1+y2=2且
y1-y2
x1-x2
=-1，代入前面的等式化簡得a2=2b2，從而解出a=
2
c，即可算出橢圓M的離心率．
解答：解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
∵點A、B在橢圓M上，∴
x12
a2
+
y12
b2
=1
x22
a2
+
y22
b2
=1
，兩式相減得
1
a2
(x12-x22)+
1
b2
(y12-y22)=0．
整理可得：
y1-y2
x1-x2
=-
b2
a2
•
x1+x2
y1+y2
…①，
∵AB的中點為D（2，1），∴由中點坐標公式，可得x1+x2=4且y1+y2=2，…②，
又∵直線AB經(jīng)過點D（2，1）與P（4，-1），
∴kAB=kPD，即
y1-y2
x1-x2
=
-1-1
4-2
=-1…③，
將②③代入①，可得-1=-
b2
a2
•
4
2
，化簡得a2=2b2，
即a2=2（a2-c2），解之得a=
2
c，
∴該橢圓的離心率e=
c
a
=
2
2
．
故選：D
點評：本題給出橢圓的弦AB的中點D的坐標，在直線AB經(jīng)過定點P的情況下求橢圓的離心率．著重考查了橢圓的標準方程與簡單幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等知識，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•西城區(qū)二模）已知橢圓M：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
2
2
3
，且橢圓上一點與橢圓的兩個焦點構(gòu)成的三角形周長為6+4
2
．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l與橢圓M交于A，B兩點，且以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點C，求△ABC面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•昌平區(qū)一模）已知橢圓M：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，其短軸的一個端點到右焦點的距離為2，且點A（
2
，1）在橢圓M上．直線l的斜率為
2
2
，且與橢圓M交于B、C兩點．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）求△ABC面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•商丘三模）已知橢圓M：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
2
2
3
，且橢圓上一點與橢圓的兩個焦點構(gòu)成的三角形的周長為6+4
2
．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：x=ky+m與橢圓M交手A，B兩點，若以AB為直徑的圓經(jīng)過橢圓的右頂點C，求m的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓M：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，直線y=kx（k≠0）與橢圓M交于A、B兩點，直線y=-
1
k
x與橢圓M交于C、D兩點，P點坐標為（a，0），直線PA和PB斜率乘積為-
1
2
．
（1）求橢圓M離心率；
（2）若弦AC的最小值為
2
6
3
，求橢圓M的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•昌平區(qū)二模）如圖，已知橢圓M：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，離心率e=
6
3
，橢圓與x正半軸交于點A，直線l過橢圓中心O，且與橢圓交于B、C兩點，B（1，1）．
（Ⅰ） 求橢圓M的方程；
（Ⅱ）如果橢圓上有兩點P、Q，使∠PBQ的角平分線垂直于AO，問是否存在實數(shù)λ（λ≠0）使得
PQ
=λ
AC
成立？

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