Question

如圖，平面ABDE⊥平面ABC，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，四邊形ABDE是直角梯形，BD∥AE，BD⊥AB，BD=

1

2

AE=2，點O、M分別為CE、AB的中點．
（1）求證：OD∥平面ABC；
（2）求直線CD和平面ODM所成角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角,空間向量及應用

分析：對第（1）問，取AC中點F，連結FO，F(xiàn)B，先證四邊形BDOF為平行四邊形，即得OD∥FB，再由線面平行的判定定理得證；
對第（2）問，以C為坐標原點，直線CA為x軸，直線CB為y軸，過C且垂直于平面ABC的直線為z軸建立空間直角坐標系，求得平面ODM的一個法向量

n

，通過向量

n

與

CD

的夾角探求直線CD和平面ODM所成角的正弦值．

解答： 解：（1）證明：如右圖所示，取AC中點F，連結FO，F(xiàn)B，則FO為△CAE的中位線，∴FO∥AE，且FO=

1

2

AE，
∵BD∥AE，BD=

1

2

AE，∴FO∥BD，且FO=BD，∴四邊形BDOF為平行四邊形，∴OD∥FB，
又∵OD?平面ABC，F(xiàn)B?平面ABC，∴OD∥平面ABC．
（2）如右圖所示，以C為坐標原點，直線CA為x軸，直線CB為y軸，過C且垂直于平面ABC的直線為z軸建立空間直角坐標系，
由題中數(shù)據(jù)知，C（0，0，0），D（0，4，2），M（2，2，0），O（2，0，2），
則

CD

=(0，4，2)，

OD

=(-2，4，0)，

MO

=(0，-2，2)，
設平面ODM的法向量為

n

=(x，y，z)，則

n • OD =0 n • MO =0

，得

-2x+4y=0 -2y+2z=0

，即

x=2y z=y

，
取y=1，得平面ODM的一個法向量為（2，1，1），從而cos＜

n

，

CD

＞=

n • CD

| n || CD |

=

4×1+2×1

6 • 20

=

30

10

，
設直線CD和平面ODM所成的角為θ，則θ+＜

n

，

CD

＞=90°，故sinθ=cos＜

n

，

CD

＞=

30

10

，
即直線CD和平面ODM所成角的正弦值為

30

10

．

點評：1．本題考查了線面平行的判定，關鍵是在已知平面內(nèi)找一條線與已知直線平行，將線面平行轉化為線線平行，將空間線面平行問題轉化為平面線線平行問題，是解決空間幾何問題的一種常用的化歸思想．證線線平行的方法有：
①同位角相等，或內(nèi)錯角相等，或同旁內(nèi)角互補．
②公理4：平行于同一直線的兩直線互相平行．
③構造或尋找中位線（三角形、平行四邊形、梯形的中位線）、利用平行直線截線段成比例．常用手段是獲取分點或中點，中點可借助平行四邊形對角線的交點、等腰三角形底邊中點等，必要時應添加輔助線．
④平行四邊形的性質（對邊互相平行）．
2．還考查了線面角的求法，關鍵是尋找已知平面的一個法向量，將線面角轉化為兩向量夾角問題來處理，特別注意兩向量夾角與線面角之間的關系：若兩向量夾角為鈍角，則線面角為此鈍角減去90°；若兩向量的夾角為銳角，則線面角為90°減去此銳角．