棱長為2
3
的正四面體內(nèi)切一球,然后在正四面體和該球形成的空隙處各放入一個(gè)小球,則這些球的最大半徑為( �。�
分析:棱長為2
3
的正四面體內(nèi)切一球,那么球O與此正四面體的四個(gè)面相切,即球心到四個(gè)面的距離都是半徑,由等體積法求出球的半徑,求出上面三棱錐的高,利用相似比求出上部空隙處放入一個(gè)小球,求出這球的最大半徑.
解答:解:由題意,此時(shí)的球與正四面體相切,
由于棱長為2
3
的正四面體,故四個(gè)面的面積都是
1
2
×2
3
×2
3
sin∠60°
=3
3

又頂點(diǎn)A到底面BCD的投影在底面的中心G,此G點(diǎn)到底面三個(gè)頂點(diǎn)的距離都是高的
2
3
倍,
又高為2
3?
sin∠60°
=3,故底面中心G到底面頂點(diǎn)的距離都是2
由此知頂點(diǎn)A到底面BCD的距離是
(2
3
)
2
-22
=2
2

此正四面體的體積是
1
3
×2
2
×3
3
=2
6
,
又此正四面體的體積是
1
3
×r×3
3
×4,故有r=
2
6
4
3
=
2
2

上面的三棱錐的高為
2
,原正四面體的高為2
2
,
所以空隙處放入一個(gè)小球,則這球的最大半徑為a,
a
2
=
2
2
2
2

∴a=
2
4

故選C.
點(diǎn)評(píng):本題考查球的體積和表面積,用等體積法求出球的半徑,熟練掌握正四面體的體積公式及球的表面積公式是正確解題的知識(shí)保證.相似比求解球的半徑是解題的關(guān)鍵.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知球O在一個(gè)棱長為2
3
的正四面體內(nèi),如果球O是該正四面體的最大球,那么球O的表面積等于( �。�
A、4
3
π
B、
4
3
π
3
C、2π
D、
3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

棱長為
2
的正四面體的外接球的體積為(  )
A、
6
2
π
B、
3
4
π
C、
3
2
π
D、
2
3
π

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

①棱長為1的正四面體與一個(gè)球①若正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在球面上,則這個(gè)球的表面積
2
2

②若球與正四面體的六條棱都相切,則這個(gè)球的體積
2
π
24
2
π
24

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知正四面體ABCD的棱長為23,球O與正四面體的各棱都相切,且球心O在正四面體的內(nèi)部,則球O的表面積等于

A.4π                 B.6π                 C.12π                D.32π

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