Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N、E、F分別是棱A₁B₁、A₁D₁、B₁C₁、C₁D₁的中點，AB=a．
（1）求證：平面AMN∥平面EFDB；
（2）求異面直線BE與MN之間的距離．

Answer 1

分析：（1）要證：平面AMN∥平面EFDB，證明MN∥平面EFDB．AM∥平面EFDB，即可；
（2）求異面直線BE與MN之間的距離，轉(zhuǎn)化為兩平行平面之間的距離．

解答：（1）證明：∵MN∥EF，∴MN∥平面EFDB．
又AM∥DF，
∴AM∥平面EFDB．而MN∩AM=M，
∴平面AMN∥平面EFDB．
（2）解：∵BE?平面EFDB，MN?平面AMN，且平面AMN∥平面EFDB，
∴BE與MN之間的距離等于兩平行平面之間的距離．
作出這兩個平面與平面A₁ACC₁的交線AP、OQ，作OH⊥AP于H．
∵DB⊥平面A₁ACC₁，
∴DB⊥OH．而MN∥DB，∴OH⊥MN．
則OH⊥平面AMN．
∵A₁P=

2

4

a，AP=

3 2

4

a，
設∠A₁AP=θ，則cosθ=

a

3 2 4 a

=

2 2

3

，
∴OH=AO•sinθ=

2

2

a•

2 2

3

a=

2

3

a．
∴異面直線BE與MN的距離是

2

3

a．

點評：本題考查平面與平面平行，異面直線間的距離，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．