Question

11．己知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的短軸長為6，焦點(diǎn)F₁（-c，0）到長軸的兩個(gè)端點(diǎn)的距離之比為$\frac{1}{9}$．
（I）求橢圓C的離心率及橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若橢圓C上一點(diǎn)P（m，n），滿足PF₁⊥PF₂，當(dāng)n＞0時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （I）由題意可知：b=3，$\frac{a-c}{a+c}=\frac{1}{9}$及a²=c²+9，即可求得a和b的值，由e=$\frac{c}{a}$，即可求得離心率及橢圓方程；
（Ⅱ）由PF₁⊥PF₂，可知P在以O(shè)為圓心，以4為半徑的圓上，列方程組，即可求得m和n的值，求得P的坐標(biāo)．

解答 解：（I）由題意可知：2b=6，b=3，
$\frac{a-c}{a+c}=\frac{1}{9}$，
由a²=c²+9，
解得：a=5，c=4，
∴離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{4}{5}$，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$；
（Ⅱ）由PF₁⊥PF₂，
∴P為以F₁F₂為直徑的圓上，即m²+n²=16，
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{m}^{2}}{25}+\frac{{n}^{2}}{9}=1}\\{{m}^{2}+{n}^{2}=16}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}=\frac{175}{16}}\\{{n}^{2}=\frac{81}{16}}\end{array}\right.$，
n＞0時(shí)，$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{5\sqrt{7}}{4}}\\{n=\frac{9}{4}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{5\sqrt{7}}{4}}\\{n=\frac{9}{4}}\end{array}\right.$，
點(diǎn)P的坐標(biāo)（$\frac{5\sqrt{7}}{4}$，$\frac{9}{4}$），（-$\frac{5\sqrt{7}}{4}$，$\frac{9}{4}$）．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡單性質(zhì)，考查求橢圓與圓交點(diǎn)坐標(biāo)的方法，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．