Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E、F分別是AB、PD的中點(diǎn)，又二面角P-CD-B為45°．
（1）求證：AF∥平面PEC；
（2）求證：平面PEC⊥平面PCD；
（3）設(shè)AD=2，CD=2

2

，求點(diǎn)A到平面PEC的距離．

Answer 1

分析：（1）關(guān)鍵是證明AF與平面PEC內(nèi)的一條直線平行，為此可取PC的中點(diǎn)G，論證AF∥EG；
（2）可轉(zhuǎn)化為證明線面垂直；（3）可轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)F到平面PEC的距離，進(jìn)而可以充分運(yùn)用（2）的結(jié)論．

解答：解：（1）證明：取PC的中點(diǎn)G，連接EG、FG．
∵F是PD的中點(diǎn)，∴FG∥CD且FG=

1

2

CD．而AE∥CD且AE=

1

2

CD，
∴EA∥GF且EA=GF，故四邊形EGFA是平行四邊形，從而EG∥AF．
又AF?平面PEC，EG?平面PEC，∴AF∥平面PEC．

（2）證明：∵PA⊥平面ABCD，∴AD是PD在平面ABCD上的射影．
又CD⊥AD，∴CD⊥PD，∠PDA就是二面角P-CD-B的平面角．
∴∠ADP=45°，則AF⊥PD．
又AF⊥CD，PD∩CD=D，∴AF⊥平面PCD．
由（1），EG∥AF，∴EG⊥平面PCD，
而EG?平面PEC，∴平面PEC⊥平面PCD．

（3）解：過F作FH⊥PC交PC于點(diǎn)H，
又平面PEC⊥平面PCD，則FH⊥平面PEC，
∴FH為點(diǎn)F到平面PEC的距離，而AF∥平面PEC，
故FH等于點(diǎn)A到平面PEC的距離．
在△PFH與△PCD中，
∵∠FHP=∠CDP=90°，∠FPC為公共角，
∴△PFH∽△PCD，

FH

CD

=

PF

PC

．
∵AD=2，CD=2

2

，PF=

2

，PC=

CD2+PD2

=4，∴FH=

2

4

•2

2

=1．
∴點(diǎn)A到平面PEC的距離為1．

點(diǎn)評：本題主要考查線面平行、線面垂直、面面垂直間的相互轉(zhuǎn)化．考查空間圖形的線面關(guān)系，空間想象能力和邏輯思維能力．