【題目】已知點 ,圓: ,過的動直線與⊙交兩點,線段中點為, 為坐標(biāo)原點。
(1)求點的軌跡方程;
(2)當(dāng)時,求直線的方程以及△面積。
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)直線的方程為3x-y-8=0,△面積是
【解析】試題分析:(Ⅰ)圓C的方程可化為(x-4)2+y2=16,由此能求出圓心為C(4,0),半徑為4,設(shè)M(x,y),求出向量CM,MP的坐標(biāo),由運用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示,化簡整理求出M的軌跡方程;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知M的軌跡是以點N(3,-1)為圓心, 為半徑的圓.由于|OP|=|OM|,故O在線段PM的垂直平分線上,可得ON⊥PM,由直線垂直的條件:斜率之積為-1,再由點斜式方程可得直線l的方程.利用點到直線距離公式結(jié)合已知條件能求出△POM的面積
試題解析:
(Ⅰ)圓C的方程可化為: ,所以圓心C(4,0)半徑為4。
設(shè)M(x,y),則(x-4,y),則由條件知,
故(x-4)(2-x)+y(2-y)=0,即。由于點P在圓C的內(nèi)部,所以M的軌跡方程是。
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知M的軌跡是以點N(3,-1)為圓心,以為半徑的圓。又,故O在線段PM的垂直平分線上,顯然P在圓N上,從而ON⊥PM。KON=,所以直線的斜率為3,故直線的方程為3x-y-8=0.又=,O到的距離為,由勾股定理可得|PM|=,所以△面積是。
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【題目】數(shù)列是首項與公比均為的等比數(shù)列(,且),數(shù)列滿足.
(1)求數(shù)列的前項和;
(2)若對一切都有,求的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù),設(shè)關(guān)于的方程有個不同的實數(shù)解,則的所有可能的值為( )
A. 3 B. 1或3 C. 4或6 D. 3或4或6
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【題目】已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點F與橢圓Γ:+y2=1的一個焦點重合,點M(x0,2)在拋物線上,過焦點F的直線l交拋物線于A,B兩點.
(Ⅰ)求拋物線C的方程以及|MF|的值;
(Ⅱ)記拋物線C的準(zhǔn)線與x軸交于點H,試問是否存在常數(shù)λ∈R,使得且|HA|2+|HB|2=都成立?若存在,求出實數(shù)λ的值; 若不存在,請說明理由.
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【題目】隨著資本市場的強勢進(jìn)入,互聯(lián)網(wǎng)共享單車“忽如一夜春風(fēng)來”,遍布了一二線城市的大街小巷.為了解共享單車在市的使用情況,某調(diào)查機構(gòu)借助網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行了問卷調(diào)查,并從參與調(diào)查的網(wǎng)友中抽取了200人進(jìn)行抽樣分析,得到表格:(單位:人)
經(jīng)常使用 | 偶爾或不用 | 合計 | |
30歲及以下 | 70 | 30 | 100 |
30歲以上 | 60 | 40 | 100 |
合計 | 130 | 70 | 200 |
(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù),能否在犯錯誤的概率不超過0.15的前提下認(rèn)為市使用共享單車情況與年齡有關(guān)?
(2)現(xiàn)從所抽取的30歲以上的網(wǎng)友中利用分層抽樣的方法再抽取5人.
(i)分別求這5人中經(jīng)常使用、偶爾或不用共享單車的人數(shù);
(ii)從這5人中,再隨機選出2人贈送一件禮品,求選出的2人中至少有1人經(jīng)常使用共享單車的概率.
參考公式: ,其中.
參考數(shù)據(jù):
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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【題目】設(shè)函數(shù)
(Ⅰ)當(dāng)(為自然對數(shù)的底數(shù))時,求的極小值;
(Ⅱ)若函數(shù)存在唯一零點,求的取值范圍.
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【題目】(2017·南充調(diào)研)如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=11,AD=7,AA1=12.一質(zhì)點從頂點A射向點E(4,3,12),遇長方體的面反射(反射服從光的反射原理),將第i-1次到第i次反射點之間的線段記為Li(i=2,3,4),L1=AE,將線段L1,L2,L3,L4豎立放置在同一水平線上,則大致的圖形是( )
A. B.
C. D.
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【題目】已知函數(shù)f(x)= (a<0).
(1)當(dāng)a=-1時,求函數(shù)f(x)的極值;
(2)若函數(shù)F(x)=f(x)+1沒有零點,求實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】小明設(shè)置的手機開機密碼若連續(xù)3次輸入錯誤,則手機被鎖定,5分鐘后,方可重新輸入.
某日,小明忘記了開機密碼,但可以確定正確的密碼是他常用的4個密碼之一,于是,他
決定逐個(不重復(fù))進(jìn)行嘗試.
(1)求手機被鎖定的概率;
(2)設(shè)第次輸入后能成功開機,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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