Question

6．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2+2cosα\\ y=2sinα\end{array}\right.$，參數(shù)α∈（0，π），M為C₁上的動(dòng)點(diǎn)，滿足條件$\overrightarrow{OM}=2\overrightarrow{OP}$的點(diǎn)P的軌跡為曲線C₂．
（Ⅰ）求C₂的普通方程；
（Ⅱ）在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線$θ=\frac{π}{3}$與C₁，C₂分別交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|．

Answer 1

分析 （I）設(shè)P（x，y），則M（2x，2y），代入C₁的方程可得$\left\{\begin{array}{l}2x=2+2cosα\\ 2y=2sinα\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}x=1+cosα\\ y=sinα\end{array}\right.$，α∈（0，π）．消去參數(shù)可得普通方程所以，C₂的普通方程為（x-1）²+y²=1，0＜y≤1．
（II）C₁的極坐標(biāo)方程為：$ρ=4cosθ，\;（0＜θ＜\frac{π}{2}）$，C₂的極坐標(biāo)方程為：$ρ=2cosθ，\;（0＜θ＜\frac{π}{2}）$，分別聯(lián)立解出即可得出．

解答 解：（I）設(shè)P（x，y），則M（2x，2y），
因?yàn)镸為C₁上的動(dòng)點(diǎn)，所以$\left\{\begin{array}{l}2x=2+2cosα\\ 2y=2sinα\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}x=1+cosα\\ y=sinα\end{array}\right.$，α∈（0，π）．
消去參數(shù)得（x-1）²+y²=1，0＜y≤1．
所以，C₂的普通方程為（x-1）²+y²=1，0＜y≤1．
（II）C₁的極坐標(biāo)方程為：$ρ=4cosθ，\;（0＜θ＜\frac{π}{2}）$，C₂的極坐標(biāo)方程為：$ρ=2cosθ，\;（0＜θ＜\frac{π}{2}）$，
由$\left\{\begin{array}{l}θ=\frac{π}{3}\\ ρ=4cosθ，\;（0＜θ＜\frac{π}{2}）\end{array}\right.$得點(diǎn)A的極坐標(biāo)為$（2，\;\frac{π}{3}）$，
由$\left\{\begin{array}{l}θ=\frac{π}{3}\\ ρ=2cosθ，\;（0＜θ＜\frac{π}{2}）\end{array}\right.$得點(diǎn)B的極坐標(biāo)為$（1，\;\frac{π}{3}）$，
所以，|AB|=1．

點(diǎn)評 本題考查了極坐標(biāo)方程的應(yīng)用、參數(shù)方程化為普通方程、切線交點(diǎn)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．