Question

已知

a

=（1，

3

），

b

=（sinx，cosx），且函數(shù)f（x）=

a

•

b

（x∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）求函數(shù)f（x）的最大值及取得最大值時自變量x的集合；
（3）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

考點：平面向量的綜合題

專題：綜合題,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）利用向量的數(shù)量積公式，結(jié)合輔助角公式，化簡函數(shù)，即可求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）利用正弦函數(shù)的性質(zhì)，可求函數(shù)f（x）的最大值及取得最大值時自變量x的集合；
（3）利用正弦函數(shù)的性質(zhì)，可求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答： 解：（1）因為

a

=（1，

3

），

b

=（sinx，cosx），
所以f(x)=

a

•

b

=sinx+

3

cosx=2sin(x+

π

3

)，
所以函數(shù)f（x）的最小正周期是T=2π．…（7分）
（2）函數(shù)f（x）的最大值是2，取得最大值時自變量x的集合是{x|x=2kπ+

π

6

，k∈Z}．…（10分）
（3）由x+

π

3

∈[-

π

2

+2kπ，

π

2

+2kπ]，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[2kπ-

5π

6

，2kπ+

π

6

](k∈Z)．…（13分）

點評：本題以向量為載體，考查三角函數(shù)知識，正確化簡函數(shù)的關(guān)鍵．