已知正三棱錐S-ABC,一個(gè)正三棱柱的一個(gè)底面的三個(gè)頂點(diǎn)在棱錐的三條側(cè)棱上,另一底面在正三棱錐的底面上,若正三棱錐的高為15cm,底面邊長為12cm,內(nèi)接正三棱柱的側(cè)面積為120cm2,
(1)求正三棱柱的高;
(2)求棱柱上底面截的小棱錐與原棱錐側(cè)面積的比.
分析:(1) 設(shè)內(nèi)接正三棱柱的高為 x,底面的邊長為 a,由直角三角形相似及內(nèi)接正三棱柱的側(cè)面積,解方程求出正三棱柱的高.
(2) 利用兩個(gè)棱錐的側(cè)面積之比等于對應(yīng)的相似比的平方,相似比為
,把x=10或x=5代入可求得棱柱上底面截的小棱錐與原棱錐側(cè)面積的比.
解答:解:(1)設(shè)內(nèi)接正三棱柱的高為 x,底面的邊長為 a,
由直角三角形相似得
=
,
∴a=
,內(nèi)接正三棱柱的側(cè)面積為:120=3a•x=3
x,
x
2-15x+50=0,∴x=10 或 x=5.
∴正三棱柱的高為10cm或5cm.
(2)兩個(gè)棱錐的側(cè)面積之比等于對應(yīng)的相似比的平方,相似比為
,
當(dāng)x=10 時(shí),相似比為
,故兩個(gè)棱錐的側(cè)面積之比等于
,
當(dāng)x=5時(shí),相似比為
,故兩個(gè)棱錐的側(cè)面積之比等于
,
故棱柱上底面截的小棱錐與原棱錐側(cè)面積的比為:1:9或4:9.
點(diǎn)評:本題考查棱柱、棱錐的側(cè)面積的求法,面積比與相似比的關(guān)系.