Question

17．設(shè)a∈R是常數(shù)，函數(shù)f（x）=a-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$
（Ⅰ）用定義證明函數(shù)f（x）是增函數(shù)
（Ⅱ）試確定a的值，使f（x）是奇函數(shù)
（Ⅲ）當(dāng)f（x）是奇函數(shù)，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）、根據(jù)題意，設(shè)-∞＜x₁＜x₂＜+∞，則有f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}$-$\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}$=$\frac{{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$，結(jié)合函數(shù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，分析可得${2}^{{x}_{2}}$-${2}^{{x}_{1}}$＞0以及（${2}^{{x}_{1}}$+1）與（${2}^{{x}_{2}}$+1）均大于0，即可得f（x₁）-f（x₂）＞0，即可證明函數(shù)單調(diào)性；
（Ⅱ）根據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)，可得a-$\frac{2}{{2}^{-x}+1}$=-（a-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$），解可得a的值，即可得答案；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得函數(shù)的解析式，將其變形可得2^x=$\frac{1+y}{1-y}$＞0，解可得y的范圍，即可得答案．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)題意，設(shè)-∞＜x₁＜x₂＜+∞，
則f（x₂）-f（x₂）=（a-$\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}$）-（a-$\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}$）=$\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}$-$\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}$$\frac{{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$，
又由函數(shù)y=2^x為增函數(shù)，且x₁＜x₂，
則有${2}^{{x}_{2}}$-${2}^{{x}_{1}}$＞0，
而（${2}^{{x}_{1}}$+1）與（${2}^{{x}_{2}}$+1）均大于0，
則有f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}$-$\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}$=$\frac{{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$＞0，
故函數(shù)f（x）=a-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$為增函數(shù)，
（Ⅱ）根據(jù)題意，f（x）是奇函數(shù)，
則必有f（-x）=-f（x），
即a-$\frac{2}{{2}^{-x}+1}$=-（a-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$），
解可得a=1；
（Ⅲ）根據(jù)題意，由（2）可得，若f（x）是奇函數(shù)，則有a=1，
故f（x）=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，
變形可得2^x=$\frac{1+y}{1-y}$＞0
解可得：-1＜k＜1，
故函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?1，1）．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的判定與應(yīng)用，關(guān)鍵是正確理解函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性．