設(shè)雙曲線C：
x2
a2
-y2=1 (a＞0) 與直線 l：x+y=1相交于兩個不同的點A、B．
（1）求a的取值范圍：（2）設(shè)直線l與y軸的交點為P，且
PA
=
5
12
PB
．求a的值．
分析：（1）直線與雙曲線方程聯(lián)立消去y，根據(jù)判別式和1-2a2≠0，求得a的范圍．
（2）設(shè)出A，B，P的坐標，根據(jù)
PA
=
5
12
PB
求得x1和x2的關(guān)系式，利用韋達定理表示出x1+x2和x1x2，聯(lián)立方程求得a．
解答：解：（1）由C與l相交于兩個不同的點，故知方程組
x2
a2
-y2=1
x+y=1.
有兩個不同的實數(shù)解．
消去y并整理得 （1-a2）x2+2a2x-2a2=0①，所以
1-a2≠0.
4a4+8a2(1-a2)＞0.
   解得0＜a＜
2
且a≠1．
所以a的取值范圍為：(0，1)∪(1，
2
)．
（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），P（0，1）
∵
PA
=
5
12
PB
，    ∴(x1，y1-1)=
5
12
(x2，y2-1).     由此得x1=
5
12
x2．
由于x1，x2都是方程①的根，且1-a2≠0，
所以
17
12
x2=-
2a2
1-a2
．，
5
12
x
2
2
=-
2a2
1-a2
.    消去，x2，得-
2a2
1-a2
=
289
60
    由a＞0，所以a=
17
13
．
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學生對圓錐曲線和直線問題的綜合把握．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1的右焦點為F2，過點F2的直線l與雙曲線C相交于A，B兩點，直線l的斜率為
35
，且
AF2
=2
F2B
；
（1）求雙曲線C的離心率；
（2）如果F1為雙曲線C的左焦點，且F1到l的距離為 
2
35
3
，求雙曲線C的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（理）設(shè)雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的離心率為e，若準線l與兩條漸近線相交于P、Q兩點，F(xiàn)為右焦點，△FPQ為等邊三角形．
（1）求雙曲線C的離心率e的值；
（2）若雙曲線C被直線y=ax+b截得的弦長為
b2e2
a
求雙曲線c的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•閔行區(qū)一模）設(shè)雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a，b＞0），R1，R2是它實軸的兩個端點，l是其虛軸的一個端點．已知其一條漸近線的一個方向向量是（1，
3
），△lR1R2的面積是
3
，O為坐標原點，直線y=kx+m（k，m∈R）與雙曲線C相交于A、B兩點，且
OA
⊥
OB
．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）求點P（k，m）的軌跡方程，并指明是何種曲線．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•閔行區(qū)一模）設(shè)雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a，b＞0)的虛軸長為2
3
，漸近線方程是y=±
3
x，O為坐標原點，直線y=kx+m（k，m∈R）與雙曲線C相交于A、B兩點，且
OA
⊥
OB
．
（1）求雙曲C的方程；
（2）求點P（k，m）的軌跡方程．

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