Question

如圖，橢圓C：＝1(a＞b＞0)的離心率為，其左焦點(diǎn)到點(diǎn)P(2，1)的距離為.不過(guò)原點(diǎn)O的直線(xiàn)l與C相交于A，B兩點(diǎn)，且線(xiàn)段AB被直線(xiàn)OP平分．

(1)求橢圓C的方程；
(2)求△ABP面積取最大值時(shí)直線(xiàn)l的方程．

Answer 1

（1）＝1（2）3x＋2y＋2－2＝0.

(1)設(shè)橢圓左焦點(diǎn)為F(－c，0)，則由題意得得
所以橢圓方程為＝1.
(2)設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為M.當(dāng)直線(xiàn)AB與x軸垂直時(shí)，直線(xiàn)AB的方程為x＝0，與不過(guò)原點(diǎn)的條件不符，舍去．故可設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y＝kx＋m(m≠0)，由消去y，整理得(3＋4k²)x²＋8kmx＋4m²－12＝0，①
則Δ＝64k²m²－4(3＋4k²)(4m²－12)＞0，，
所以線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為M.
因?yàn)镸在直線(xiàn)OP：y＝x上，所以＝，得m＝0(舍去)或k＝－.
此時(shí)方程①為3x²－3mx＋m²－3＝0，則Δ＝3(12－m²)＞0，，所以AB＝·|x₁－x₂|＝·，設(shè)點(diǎn)P到直線(xiàn)AB的距離為d，則d＝
.設(shè)△ABP的面積為S，則S＝AB·d＝.其中m∈(－2，0)∪(0，2)．令u(m)＝(12－m²)(m－4)²，m∈[－2，2]，u′(m)＝－4(m－4)(m²－2m－6)＝－4(m－4)·(m－1－)(m－1＋)．所以當(dāng)且僅當(dāng)m＝1－時(shí)，u(m)取到最大值．故當(dāng)且僅當(dāng)m＝1－時(shí)，S取到最大值．綜上，所求直線(xiàn)l的方程為3x＋2y＋2－2＝0