Question

已知函數(shù).

(Ⅰ)求在處的切線方程；

(Ⅱ)求的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ）若，求證：.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）當(dāng)，的單調(diào)增區(qū)間；當(dāng)時(shí),函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是；（Ⅲ）詳見解析.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）求出導(dǎo)數(shù)及切點(diǎn)，利用直線的點(diǎn)斜式方程即可得切線方程.

（Ⅱ）將求導(dǎo)，利用求得其遞增區(qū)間，求得其遞減區(qū)間.

在本題中，，由得：.當(dāng), 的單調(diào)增區(qū)間；

當(dāng)時(shí),函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是.

（Ⅲ）本題首先要考慮的是，所要證的不等式與函數(shù)有什么關(guān)系？待證不等式可做如下變形： ，最后這個(gè)不等式與有聯(lián)系嗎？我們往下看.

,所以在上是增函數(shù).

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014030704193939657102/SYS201403070420473340288248_DA.files/image021.png">，所以

即從這兒可以看出，有點(diǎn)聯(lián)系了.同理，

所以，

與待證不等式比較，只要問(wèn)題就解決了，而這由重要不等式可證，從而問(wèn)題得證.

試題解析：（Ⅰ），，所以切線為：即  3分

（Ⅱ），

，     4分

，,        5分

當(dāng)，的單調(diào)增區(qū)間；     6分

當(dāng)時(shí),函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是.   8分

（Ⅲ）,所以在上是增函數(shù), 上是減函數(shù)

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014030704193939657102/SYS201403070420473340288248_DA.files/image021.png">，所以

即,同理.

所以

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014030704193939657102/SYS201403070420473340288248_DA.files/image026.png">當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)，取等號(hào).

又，,

所以,所以，

所以：.      14分

考點(diǎn)：1、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用；2、不等式的證明.