Question

20．設拋物線y²=8x的焦點為F，過點F作直線l與拋物線分別交于A，B兩點，若點M滿足$\overrightarrow{OM}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$），過M作y軸的垂線與拋物線交于點P，若|PF|=4，則M點的橫坐標為6．

Answer 1

分析 根據(jù)已知條件M是AB中點，設出A和B的坐標及直線方程，并將直線方程代入橢圓方程得到關于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關系，表示出x₁+x₂和x₁•x₂，并求出P點坐標，根據(jù)|PF|=4，求得k的值，即可求得M點的橫坐標．

解答 解：由題意可知：拋物線y²=8x的焦點為F，準線為x=-2，M是AB的中點，
設A（x₁，y₂），B（x₂，y₂），直線AB的方程為y=k（x-2），
將直線方程代入拋物線方程消去y得：k²x²-（4k²+8）+4k²=0，
由根與系數(shù)的關系：x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}+8}{{k}^{2}}$，x₁•x₂=4，
又設P（x₀，y₀），y₀=$\frac{1}{2}$（y₂+y₂）=$\frac{1}{2}$[k（x₁-2）+k（x₂-2）]=$\frac{4}{k}$，
∴x₀=$\frac{2}{{k}^{2}}$，
∴P（$\frac{2}{{k}^{2}}$，$\frac{4}{k}$），
|PF|=x₀+2=$\frac{2}{{k}^{2}}$+2=4，
∴k²=1，
∴M點的橫坐標為$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{\frac{4{k}^{2}+8}{{k}^{2}}}{2}$=6，
故答案為：6．

點評 本題考查拋物線的性質和應用及根與系數(shù)的關系，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件，積累解題方法，屬于中檔題．