Question

【題目】某高速公路全程設有2n(n≥4，)個服務區(qū).為加強駕駛?cè)藛T的安全意識，現(xiàn)規(guī)劃在每個服務區(qū)的入口處設置醒目的宣傳標語A或宣傳標語B.

（1）若每個服務區(qū)入口處設置宣傳標語A的概率為，入口處設置宣傳標語B的服務區(qū)有X個，求X的數(shù)學期望；

（2）試探究全程兩種宣傳標語的設置比例，使得長途司機在走該高速全程中，隨機選取3個服務區(qū)休息，看到相同宣傳標語的概率最小，并求出其最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）兩種宣傳標語1：1設置時，符合題設的概率最小，其最小值為

【解析】

（1）由題意得每個服務區(qū)入口處設置宣傳標語B的概率為，則X~B(2n，)，由此可求出答案；

（2）由古典概型的概率計算公式可得，記這3個服務區(qū)看到相同的宣傳標語的事件數(shù)為M，看到相同宣傳標語的概率P＝， 設該高速公路全程2n個服務區(qū)中，入口處設置醒目的宣傳標語A的有m(m，m≤2n)個，分類討論，利用數(shù)列中鄰項作差法（即根據(jù)相鄰兩項之差的符號判斷其單調(diào)性）結(jié)合組合數(shù)的性質(zhì)可求得的最小值，從而求出答案．

解：（1）∵每個服務區(qū)入口處設置宣傳標語A的概率為，

∴每個服務區(qū)入口處設置宣傳標語B的概率為，

∴X~B(2n，)，∴；

（2）長途司機在走該高速全程中，隨機的選取3個服務區(qū)，共有種選取方法，

長途司機在走該高速全程中，隨機的選取3個服務區(qū)，

記這3個服務區(qū)看到相同的宣傳標語的事件數(shù)為M，

則其概率P＝，

設該高速公路全程2n個服務區(qū)中，入口處設置醒目的宣傳標語A的有m(m，m≤2n)個，

①當時，，

令，，

則當時，，

∴當時，；當時，，

∴當時，，即；

②當，時，，顯然，

∴，

∵，∴，

∴，

即，

當，時，，

∵，時，，或，或，

∴同②，；

綜上，當時，，，

即兩種宣傳標語1：1設置時，符合題設的概率最小，其最小值為．