Question

在遞增數(shù)列{a_n}中，a₁=1，(an+an+1-1)2=4anan+1．
（1）求a_n，并證明：

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜2；
（2）若anbn=

n3+n2

n2+6n+9

(n∈N+)，求證：當(dāng)n≥2時(shí)，b1+b2+…+bn＜

n

8

．

Answer 1

分析：（1）利用條件可得

an+1

-

an

=1，從而可得{

an

}是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，即可求a_n，利用放縮法，裂項(xiàng)求和，可以證明結(jié)論；
（2）確定數(shù)列的通項(xiàng)，利用數(shù)學(xué)歸納法，可以證明不等式成立．

解答：（1）解：∵遞增數(shù)列{a_n}中，a₁=1，(an+an+1-1)2=4anan+1，
∴an+an+1-1=2

anan+1

∴(

an+1

-

an

)2=1
∴

an+1

-

an

=1
∵a₁=1，
∴{

an

}是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列
∴

an

=n
∴an=n2
∴

1

an

=

1

n2

＜

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

（n≥2）
∴

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜1+1-

1

n

＜2；
（2）證明：∵anbn=

n3+n2

n2+6n+9

(n∈N+)，
∴bn=

n+1

n2+6n+9

∴n=2時(shí)，b1=

3

25

＜

2

8

成立；
設(shè)n=k（k≥2）時(shí)，結(jié)論成立，即b1+b2+…+bk＜

k

8

則n=k+1時(shí)，b1+b2+…+bk+1＜

k

8

+

k+1

(k+4)2

下證

k

8

+

k+1

(k+4)2

＜

k+1

8

，
即證

k+1

(k+4)2

＜

1

8

即證k²+8＞0顯然成立
綜上可知，當(dāng)n≥2時(shí)，b1+b2+…+bn＜

n

8

．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查不等式的證明，考查數(shù)學(xué)歸納法，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．