Question

已知雙曲線上兩點A，B的坐標分別為(

9

4

，5)，(3，-4

2

)．
（Ⅰ）求雙曲線的標準方程；
（Ⅱ）寫出雙曲線的焦點坐標，實軸長，虛軸長，離心率．

Answer 1

考點：雙曲線的標準方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）設(shè)雙曲線的標準方程為mx²+ny²=1，（mn＜0），把(

9

4

，5)，(3，-4

2

)代入，列方程組分別求出m，n，由此能求出雙曲線的標準方程．
（Ⅱ）結(jié)合雙曲線的標準方程，利用雙曲線的簡單性質(zhì)，能求出雙曲線的焦點坐標，實軸長，虛軸長，離心率．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)雙曲線的標準方程為mx²+ny²=1，（mn＜0）
把(

9

4

，5)，(3，-4

2

)代入，得：

81 16 m+25n=1 9m+32n=1

，
解得m=-

1

9

，n=

1

16

，
∴雙曲線的標準方程為：

y2

16

-

x2

9

=1．
（Ⅱ）∵雙曲線的標準方程為：

y2

16

-

x2

9

=1，
∴a=4，b=3，c=

16+9

=5，
∴雙曲線的焦點坐標F₁（0，-5），F(xiàn)₂（0，5），
實軸長2a=8，虛軸長2b=6，離心率e=

c

a

=

5

4

．

點評：本題考查雙曲線的標準方程、雙曲線的焦點坐標，實軸長，虛軸長，離心率的求法，解題時要熟練掌握雙曲線的簡單性質(zhì)，注意代入法的合理運用．