Question

5．若定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：當(dāng)0≤x＜2時，f（x）=2x-x²，當(dāng)2k≤x＜2k+2（k∈N^+）時，f（x）=2f（x-2），則函數(shù)F（x）=lnx-f（x）在區(qū)間（0，16）內(nèi)的零點個數(shù)為15．

Answer 1

分析 由當(dāng)0≤x＜2時，f（x）=2x-x²，求得當(dāng)2≤x＜4時，f（x）=2f（x-2）=2（x-2）（4-x）；…，當(dāng)14≤x＜16時，f（x）=2f（x-2）=2⁷（x-14）（16-x）．F（x）=0，即y=lnx與y=f（x）在（0，16）的交點個數(shù)．作出函數(shù)y=lnx和y=f（x）在（0，16）的圖象，即可得到所求個數(shù)．

解答 解：當(dāng)0≤x＜2時，f（x）=2x-x²，
當(dāng)2≤x＜4時，0≤x-2＜2，
f（x）=2f（x-2）=2（x-2）（4-x）；
當(dāng)4≤x＜6時，2≤x-2＜4，
f（x）=2f（x-2）=4（x-4）（6-x）；
當(dāng)6≤x＜8時，4≤x-2＜6
f（x）=2f（x-2）=8（x-6）（8-x）；
…，
當(dāng)14≤x＜16時，12≤x-2＜14，
f（x）=2f（x-2）=2⁷（x-14）（16-x）．
函數(shù)F（x）=lnx-f（x）在區(qū)間（0，16）內(nèi)的零點個數(shù)
即為F（x）=0，即y=lnx與y=f（x）在（0，16）的交點個數(shù)．
作出函數(shù)y=lnx和y=f（x）在（0，16）的圖象，可知
在（0，2）內(nèi)有一個交點；在（2，4），（4，6），…，（14，16）內(nèi)均有兩個交點．
則共有1+2×7=15個交點．
則F（x）在區(qū)間（0，16）內(nèi)的零點個數(shù)為15．
故答案為：15．

點評 本題考查函數(shù)的解析式的求法和零點個數(shù)的求法，注意運用條件和轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合的思想方法，考查化簡整理的能力，屬于中檔題．