Question

若關于x的方程x²-（a-1）x+b-1=0的兩實根為x₁，x₂，且x₁²+x₂²=1
（1）求出a與b之間的函數(shù)關系b=f（a）及定義域；
（2）作出b=f（a）的簡圖，并求出函數(shù)b=f（a）的最大值與最小值．

Answer 1

分析：（1）b=f（a）的解析式可以利用x₁²+x₂²=1的恒等變形與二次方程根與系數(shù)的關系結(jié)合求出，其定義域要滿足方程x²-（a-1）x+b-1=0有兩實根，即判別式大于等于0．
（2）由（1）知b=f（a）是一個二次函數(shù)，故依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最大值與最小值即可

解答：解：（1）依題意：△=（a-1）²-4（b-1）≥0?a²-2a-4b+5≥0   ①
x₁²+x₂²=1?（a-1）²-2（b-1）=1?b=

1

2

（a-1）²+

1

2

   ②
把②代入①得a2-2a-1≤0?1-

2

≤a≤1+

2

∴b=

1

2

（a-1）²+

1

2

，a∈[1-

2

，1+

2

]

（2） 由（1）得b=

1

2

（a-1）²+

1

2

，a∈[1-

2

，1+

2

]
∴當a=1時，bmin=

1

2

；
當a=1±

2

時，bmax=

3

2

．

點評：本題考點是二次函數(shù)的性質(zhì)，考查利用根與系數(shù)的關系求解析式以及利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值，本題第一小題對恒等變形的技巧要求較高，做題時應細心體會．