Question

已知橢圓C₁：

x2

3

+

y2

2

=1的左右焦點為F₁，F(xiàn)₂，直線l₁過點F₁且垂直于橢圓的長軸，動直線l₂垂直于直線l₁于點P，線段PF₂的垂直平分線與l₂的交點的軌跡為曲線C₂，若A（1，2），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）是C₂上不同的點，且AB⊥BC，則y₂的取值范圍是（　　）

• A、（-∞，-6）∪[10．+∞）
• B、（-∞，6]∪[10．+∞）
• C、（-∞，-6）∪（10，+∞）
• D、以上都不正確

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：由已知條件推導(dǎo)出曲線C₂：y²=4x．

AB

=(x1-1，y1-2)，

BC

=(x2-x1，y2-y1)，由AB⊥BC，推導(dǎo)出y12+(2+y2)y1+(2y2+16)=0，由此能求出y 2 的取值范圍．

解答：解：∵橢圓C₁：

x2

3

+

y2

2

=1的左右焦點為F₁，F(xiàn)₂，
∴F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），直線l₁：x=-1，
設(shè)l₂：y=t，設(shè)P（-1，t），（t∈R），M（x，y），
則y=t，且由|MP|=|MF₂|，
∴（x+1）²=（x-1）²+y²，
∴曲線C₂：y²=4x．
∵A（1，2），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）是C₂上不同的點，
∴

AB

=(x1-1，y1-2)，

BC

=(x2-x1，y2-y1)，
∵AB⊥BC，
∴

AB

•

BC

=（x₁-1）（x₂-x₁）+（y₁-2）（y₂-y₁）=0，
∵x1=

1

4

y12，x2=

1

4

y22，
∴（y12-4）（y22-y12）+

(y1-2)(y2-y1)

16

=0，
∵y₁≠2，y₁≠y₂，
∴

(y1+2)(y1+y2)

16

+1=0，
整理，得y12+(2+y2)y1+(2y2+16)=0，
關(guān)于y₁的方程有不為2的解，
∴△=(2+y2)2-4(2y2+16)≥0，且y₂≠-6，
∴y22-4y2-60≥0，且y₂≠-6，
解得y₂＜-6，或y 2 ≥10．
故選：A．

點評：本題考查實數(shù)的取值范圍的求法，綜合性強(qiáng)，難度大，解題時要熟練掌握圓錐曲線的簡單性質(zhì)，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．