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15.設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足an2-2Sn=2-an(n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=3a2na2n+2,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn

分析 (1)由an22Sn=2an,得an+122Sn+1=2an+1,兩式相減得an+12an22Sn+1Sn=anan+1,即an+12an2an+1+an=0,即an+1-an=1(n∈N*)即可求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
2bn=3a2na2n+2=32n+12n+3=3212n+112n+3累加即可求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn

解答 解:(1)由an22Sn=2an,
  得an+122Sn+1=2an+1
兩式相減得an+12an22Sn+1Sn=anan+1
an+12an2an+1+an=0,即(an+1-an)(an+1+an)-(an+1+an)=0
因?yàn)閍n>0,解得an+1-an=1(n∈N*
故數(shù)列{an}為等差數(shù)列,且公差d=1----------------(4分)
a122S1=2a1,解得a1=2或a1=-1(舍去)
故an=n+1--------------(6分)
2bn=3a2na2n+2=32n+12n+3=3212n+112n+3-------------(8分)
Tn=32[1315+1517++12n+112n+3]-------------(10分)
=321312n+3=n2n+3--------------(12分)

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)列的遞推式,等差數(shù)列的通項(xiàng),裂項(xiàng)求和,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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