分析 (1)由an2−2Sn=2−an,得an+12−2Sn+1=2−an+1,兩式相減得an+12−an2−2(Sn+1−Sn)=an−an+1,即an+12−an2−(an+1+an)=0,即an+1-an=1(n∈N*)即可求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)bn=3a2na2n+2=3(2n+1)(2n+3)=32(12n+1−12n+3)累加即可求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.
解答 解:(1)由an2−2Sn=2−an,
得an+12−2Sn+1=2−an+1
兩式相減得an+12−an2−2(Sn+1−Sn)=an−an+1
即an+12−an2−(an+1+an)=0,即(an+1-an)(an+1+an)-(an+1+an)=0
因?yàn)閍n>0,解得an+1-an=1(n∈N*)
故數(shù)列{an}為等差數(shù)列,且公差d=1----------------(4分)
又a12−2S1=2−a1,解得a1=2或a1=-1(舍去)
故an=n+1--------------(6分)
(2)bn=3a2na2n+2=3(2n+1)(2n+3)=32(12n+1−12n+3)-------------(8分)
則Tn=32[(13−15)+(15−17)+…+(12n+1−12n+3)]-------------(10分)
=32(13−12n+3)=n2n+3--------------(12分)
點(diǎn)評 本題考查了數(shù)列的遞推式,等差數(shù)列的通項(xiàng),裂項(xiàng)求和,屬于中檔題.
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