Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-

x-1

x

（Ⅰ）求此函數(shù)的單調區(qū)間及最值；
（Ⅱ）求證：對于任意正整數(shù)n，均有1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

≥ln

en

1×2×3×…×n

（e為自然對數(shù)的底數(shù)）；
（Ⅲ）是否存在過點（1，-1）的直線與函數(shù)y=f（x）的圖象相切？若存在，有多少條？若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（I）先對函數(shù)求導，討論函數(shù)的定義域及單調區(qū)間，從而確定最值．
（II）由（I）知函數(shù)f（x）的定義域（0，+∞），在（0，1）是減函數(shù)，[1，+∞）是增函數(shù)，從而有

1

x

≥1-lnx=ln

e

x

，分別把x=1，2，3…代入不等式相加可證
（III）假設存在滿足條件的直線與函數(shù)相切，根據(jù)導數(shù)的幾何意義，求出切線方程，結合導數(shù)的知識推導．

解答： （Ⅰ）解：由題意f′（x）=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

∵函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），
∴函數(shù)在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)，f_min（x）=f（1）=0，無最大值．
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知f（x）=lnx-

x-1

x

≥f（1）=0，
故

1

x

≥1-lnx=ln

e

x

，
取x=1，2，3，…，
則1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

≥lnln

en

1×2×3×…×n

（e為自然對數(shù)的底數(shù)）；
（Ⅲ）解：假設存在這樣的切線，設其中一個切點T（x₀，lnx₀-

x0-1

x0

），
切線方程：y+1=

x0-1

x 2 0

（x-1），將點T坐標代入得：lnx₀-

x0-1

x0

=

x0-1

x 2 0

，即lnx₀+

3

x0

2

x 2 0

--1=0，①
設g（x）=lnx+

3

x

-

2

x2

-1，則g′（x）=

(x-1)(x-2)

x3

．
∵x＞0，
∴g（x）在區(qū)間（0，1），（2，+∞）上是增函數(shù)，在區(qū)間（1，2）上是減函數(shù)，
故g（x）_極大值=g（1）=1＞0，g（x）_極小值=g（2）=ln2+

1

4

＞0．
又g（

1

4

）=ln

1

4

+12-16-1=-ln4-3＜0，
注意到g（x）在其定義域上的單調性，知g（x）=0僅在（

1

4

，1）內有且僅有一根，
所以方程①有且僅有一解，故符合條件的切線有且僅有一條．

點評：本題考查了導數(shù)的應用：利用導數(shù)研究函數(shù)單調區(qū)間及求最值問題，而對不等式的證明問題，主要是結合函數(shù)的單調性，對于存在性問題，通常是先假設存在，由假設出發(fā)進行推導，若推出矛盾，說明假設錯誤，即不存在，反之說明存在．