Question

已知函數(shù)y=(

1

4

)x-(

1

2

)x+1的定義域為[-3，2]，
（1）求函數(shù)的單調區(qū)間；
（2）求函數(shù)的值域．

Answer 1

分析：（1）由題意，此函數(shù)是一個內層函數(shù)是指數(shù)函數(shù)外層函數(shù)是二次函數(shù)的復合函數(shù)，可令t=(

1

2

)x，換元求出外層函數(shù)，分別研究內外層函數(shù)的單調性，結合函數(shù)的定義域判斷出函數(shù)的單調區(qū)間；
（2）由題意，可先求出內層函數(shù)的值域，再求外層函數(shù)在內層函數(shù)上的值域．

解答：解：（1）令t=(

1

2

)x，則y=t²-t+1=（t-

1

2

）²+

3

4

當x∈[1，2]時，t=(

1

2

)x是減函數(shù)，此時t∈[

1

4

，

1

2

]，在此區(qū)間上y=t²-t+1是減函數(shù)
當x∈[-3，1]時，t=(

1

2

)x是減函數(shù)，此時t∈[

1

2

，8]，在此區(qū)間上y=t²-t+1是增函數(shù)
∴函數(shù)的單調增區(qū)間為[1，2]，單調減區(qū)間為[-3，1]
（2）∵x∈[-3，2]，
∴t∈[

1

4

，8]
由（1）y=t²-t+1=（t-

1

2

）²+

3

4

∴函數(shù)的值域為[

3

4

，57]

點評：本題考查指數(shù)函數(shù)單調性的運用，復合函數(shù)單調性的判斷規(guī)則，復合函數(shù)的值域的求法，解題的關鍵是理解并掌握復合函數(shù)單調性的判斷規(guī)則及復合函數(shù)值域求法步驟，本題中判斷復合函數(shù)的單調性是難點，外層函數(shù)不是單調函數(shù)，內層函數(shù)是單調性函數(shù)，此類復合函數(shù)求單調區(qū)間，要注意根據(jù)外層函數(shù)的單調區(qū)間求出內層函數(shù)的單調區(qū)間，要理解此規(guī)律，本題的解法具有一般性可推廣，本題考查了分類討論的思想，判斷推理的能力及計算能力