Question

設(shè)命題p：函數(shù)f（x）=lg（ax²-4x+a）的定義域?yàn)镽；命題q：不等式2x²+x＞2+ax，對?x∈（-∞，-1）上恒成立，如果命題“p∨q”為真命題，命題“p∧q”為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：分別求出命題p，q成立的等價(jià)條件，利用“p∨q”為真命題，命題“p∧q”為假命題，確定實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答：解：①若函數(shù)f（x）=lg（ax²-4x+a）的定義域?yàn)镽，
則ax²-4x+a＞0恒成立．
若a=0，則不等式為-4x＞0，即x＜0，不滿足條件．
若a≠0，則

a＞0 △=16-4a2＜0

，即

a＞0 a2＞4

，
解得a＞2，即p：a＞2．
②要使不等式2x²+x＞2+ax，對?x∈（-∞，-1）上恒成立，
則a＞2x-

2

x

+1，對?x∈（-∞，-1）上恒成立，
∵y=2x-

2

x

+1在 （-∞，-1]上是增函數(shù)，
∴y_min=1，x=-1，
故a≥1，即q：a≥1．
若“p∨q”為真命題，命題“p∧q”為假命題，
則p，q一真一假．
若p真q假，則

a＞2 a＜1

，此時(shí)不成立．
若p假q真，則

a≤2 a≥1

，解得1≤a≤2．
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是1≤a≤2．

點(diǎn)評：本題主要考查復(fù)合命題與簡單命題之間的關(guān)系，利用條件先求出p，q成立的等價(jià)條件是解決此類問題的關(guān)鍵．