Question

已知點A（-1，0）、B（1，0），直線AM與BM相交于點M，且它們的斜率之積為-2，
（1）求動點M的軌跡E的方程；
（2）若過點N（

1

2

，1）的直線l交動點M的軌跡于C、D兩點，且點N為CD的中點，求直線l的方程．

Answer 1

考點：軌跡方程,直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）由題意可得：設M（x，y），寫出直線AM與直線BM的斜率，利用線AM與直線BM的斜率之積為-2，得到x與y的關系，進而得到答案；
（2）根據題意可得直線l的斜率存在，設l：y-1=k（x-

1

2

），C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），聯立方程組得：（2+k²）x²-k（k-2）x+（-

1

2

k+1）²-2=0再結合根據根與系數的關系，求出直線的斜率得到直線的方程．

解答： 解：（1）由題意可得：設M（x，y），
∵直線AM與直線BM的斜率之積為-2，
∴

y

x+1

•

y

x-1

=-2，化簡得：x2+

y2

2

=1(y≠0)．
∴動點M的軌跡E的方程為x2+

y2

2

=1(y≠0)．
（2）根據題意可得直線l的斜率存在，
∴設l：y-1=k（x-

1

2

），C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
代入橢圓方程，整理可得：（2+k²）x²-k（k-2）x+（-

1

2

k+1）²-2=0
∴x₁+x₂=-

k(2-k)

2+k2

，
∵N（

1

2

，1）為CD的中點，
∴-

k(2-k)

2+k2

=1，
∴k=-1，
∴直線l的方程為2x+2y-3=0．

點評：本題主要考查求曲線方程的方法，以及考查當直線與圓相交時結合題意運用韋達定理化簡求值的知識點，是一道綜合性較強的題．