Question

1．已知數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，其公比為2，設(shè)b_n=log₂a_n，且數(shù)列{b_n}的前10項(xiàng)的和為25，那么$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{10}}$的值為$\frac{1023}{128}$．

Answer 1

分析 由題意可得：b₁+b₂+…+b₁₀=log₂（a₁•a₂•…•a₁₀）=$lo{g}_{2}（{a}_{1}^{10}{2}^{1+2+…+9}）$=25，${a}_{1}^{10}×{2}^{45}$=2²⁵，可得：a₁=$\frac{1}{4}$．代入即可得出．

解答 解：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，其公比為2，
設(shè)b_n=log₂a_n，且數(shù)列{b_n}的前10項(xiàng)的和為25，
∴b₁+b₂+…+b₁₀=log₂（a₁•a₂•…•a₁₀）=$lo{g}_{2}（{a}_{1}^{10}{2}^{1+2+…+9}）$=25，
∴${a}_{1}^{10}×{2}^{45}$=2²⁵，可得：a₁=$\frac{1}{4}$．
那么$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{10}}$=4$（1+\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+…+\frac{1}{{2}^{9}}）$=4×$\frac{1-\frac{1}{{2}^{10}}}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{1023}{128}$．
故答案為：$\frac{1023}{128}$．

點(diǎn)評 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．