Question

16．已知數(shù)列{a_n}為首項為1，公差為2的等差數(shù)列
（1求{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n-1}}$，數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，求T_n的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列的通項公式即得結(jié)論；
（2）通過（1）裂項相加可知T_n=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2（2n+1）}$，進(jìn)而作差可知數(shù)列{T_n}為遞增數(shù)列，計算即可．

解答 解：（1）因為a₁=1，數(shù)列{a_n}為公差等于2的等差數(shù)列，
所以a_n=1+2（n-1）=2n-1；
（2）由（1）知b_n=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2（2n+1）}$，
∵T_n+1-T_n=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2（2n+3）}$-[$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2（2n+1）}$]
=$\frac{1}{2（2n+1）}$-$\frac{1}{2（2n+3）}$
=$\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}$＞0，
∴T_n+1＞T_n，即數(shù)列{T_n}為遞增數(shù)列，
∴T_n的最小值為T₁=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{6}$=$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查裂項相消法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．