Question

13．如圖所示，某公園內(nèi)從點(diǎn)A處出發(fā)有兩條道路AB，AC連接到南北方向的道路BC．從點(diǎn)A處觀察點(diǎn)B和點(diǎn)C的方位角分別是∠PAB和∠PAC，且cos∠PAB=$\frac{7}{25}$，cos∠PAC=$\frac{3}{5}$，AB=2.5km．
（1）求AC和BC；
（2）現(xiàn)有甲乙二人同時(shí)從點(diǎn)A處出發(fā)，甲以5km/h的速度沿道路AC步行，乙以6km/h的速度沿A-B-C路線步行，問半小時(shí)后兩人的距離是多少？

Answer 1

分析 （1）由誘導(dǎo)公式和正弦定理即可求出；
（2）先判斷所在的位置，再根據(jù)余弦定理即可求出．

解答 （1）因?yàn)?cos∠PAB=\frac{7}{25}$，$cos∠PAC=\frac{3}{5}$，AB=2.5km，
所以在△ABC中，$cosB=-\frac{7}{25}$，$cosC=\frac{3}{5}$，
所以$sinB=\frac{24}{25}$，$sinC=\frac{4}{5}$，
$sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=\frac{44}{125}$，
在△ABC中，由正弦定理$\frac{AB}{sinC}=\frac{BC}{sinA}=\frac{AC}{sinB}$
得：$BC=\frac{ABsinA}{sinC}=1.1（km）$，$AC=\frac{ABsinB}{sinC}=3（km）$
（2）半小時(shí)后，假設(shè)甲位于點(diǎn)D，則AB=2.5km，
假設(shè)乙位于點(diǎn)E，因?yàn)橐业穆烦虨?km，大于2.5km，
故點(diǎn)應(yīng)位于道路BC上，且CE=0.6km，
在△CDE中，由余弦定理得：DE²=DC²+CE²-2DC•CEcosC=0.5²+0.6²-2×0.5×0.6×0.6=0.5²，
所以DE=0.5km．

點(diǎn)評 本題考查了正弦定理和余弦定理，培養(yǎng)了學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．