分析 方法一:(Ⅰ)以D為坐標(biāo)原點(diǎn),以$\overrightarrow{DB},\overrightarrow{DC}$方向?yàn)閤軸,y軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系,根據(jù)平面B1CD的法向量與直線AC1的方向向量垂直,得到AC1∥平面B1CD
(Ⅱ) 設(shè)AA1=h,由AB1⊥A1C,可得h值,進(jìn)而求出兩個(gè)平面的法向量,代入向量夾角公式,可得答案.
方法二:(Ⅰ)連BC1,交CB1于點(diǎn)M,連MD,由線面平行的判定定理可證得:AC1∥平面B1CD
(Ⅱ) 由已知可得∠A1DB1即二面角A1-CD-B1的平面角,由余弦定理,可得二面角A1-CD-B1的余弦值.
解答 方法一:(Ⅰ)以D為坐標(biāo)原點(diǎn),以$\overrightarrow{DB},\overrightarrow{DC}$方向?yàn)閤軸,y軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系,則$D(0,0,0),A(-2,0,0),B(2,0,0),C(0,\sqrt{5},0)$,
設(shè)AA1=h,則${A_1}(-2,0,h),{B_1}(2,0,h),{C_1}(0,\sqrt{5},h)$,$\overrightarrow{DC}=(0,\sqrt{5},0)$,$\overrightarrow{D{B_1}}=(2,0,h)$
設(shè)平面B1CD的法向量為$\overrightarrow n=(x,y,z)$,
則$\overrightarrow n⊥\overrightarrow{DC},\overrightarrow n⊥\overrightarrow{D{B_1}}$,
∴$\left\{{\begin{array}{l}{\sqrt{5}y=0}\\{2x+hz=0}\end{array}}\right.$取$\overrightarrow n=(h,0,-2)$,
∵$\overrightarrow{A{C_1}}=(2,\sqrt{5},h)$,
∴$\overrightarrow{A{C_1}}•\overrightarrow n=2h-2h=0$,
∴$\overrightarrow{A{C_1}}∥\overrightarrow n$,
∵AC1?平面B1CD,DM?平面B1CD,
∴AC1∥平面B1CD. …4
(Ⅱ)∵AB1⊥A1C,$\overrightarrow{A{B_1}}=(4,0,h),\overrightarrow{{A_1}C}=(2,\sqrt{5},-h)$
∴$\overrightarrow{A{B_1}}•\overrightarrow{{A_1}C}=8-{h^2}=0$,∴$h=2\sqrt{2}$,
平面B1CD的法向量為$\overrightarrow n=(2\sqrt{2},0,-2)$,
類(lèi)似可取平面A1CD的法向量為$\overrightarrow m=(\sqrt{2},0,1)$,
$cos?\overrightarrow n,\overrightarrow m>=\frac{\overrightarrow n•\overrightarrow m}{|\overrightarrow n•\overrightarrow m|}=\frac{2}{{2\sqrt{3}×\sqrt{3}}}=\frac{1}{3}$,
故二面角A1-CD-B1的平面角的余弦值為$\frac{1}{3}$. …12
方法二:(Ⅰ)證明:連BC1,交CB1于點(diǎn)M,連MD,
∵D,M分別為AB,C1B的中點(diǎn),
∴AC1∥MD,
∵AC1?平面B1CD,DM?平面B1CD,
∴AC1∥平面B1CD.
(Ⅱ)∵AC=BC,AD=DB,
∴CD⊥AB,
∵AA1⊥底面ABC,CD?底面ABC,
∴AA1⊥CD,
∵AA1∩AB=A,AA1,AB?平面A1DB1,
∴CD⊥平面A1DB1,
∵A1D,DB1?平面A1DB1,
∴CD⊥A1D,CD⊥B1D,
∴∠A1DB1即二面角A1-CD-B1的平面角,
∵AB1?平面A1DB1,
∴CD⊥平面A1DB1,
∴CD⊥AB1,
又AB1⊥A1C,CD∩A1C=C,CD,A1C?平面A1CD,
∴AB1⊥平面A1CD,
∵A1D?平面A1CD,
∴AB1⊥A1D,
設(shè)AA1=h,則$\frac{h}{4}•\frac{h}{2}=1$,
∴$h=2\sqrt{2}$,
∴${A_1}D={B_1}D=2\sqrt{3}$,
又∵A1B1=4,
∴$cos∠{A_1}D{B_1}=\frac{{{A_1}{D^2}+{B_1}{D^2}-{A_1}{B_1}^2}}{{2{A_1}D•{B_1}D}}=\frac{{{{(2\sqrt{3})}^2}+{{(2\sqrt{3})}^2}-{4^2}}}{{2×{{(2\sqrt{3})}^2}}}=\frac{1}{3}$,
故二面角A1-CD-B1的平面角的余弦值為$\frac{1}{3}$.
點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定,難度中檔.
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