Question

已知橢圓左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，點(diǎn)P（2，），點(diǎn)F₂在線段PF₁的中垂線上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，直線F₂M與F₂N的斜率互為相反數(shù)，求證：直線l過定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

（1）；（2）詳見解析．

試題分析：（1）根據(jù)橢圓的離心率求得a和c的關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）又點(diǎn)F₂在線段PF₁的中垂線上，推斷|F₁F₂|=|PF₂|，進(jìn)而求得c，則a和b可得，進(jìn)而求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）設(shè)直線MN方程為y=kx+m，與橢圓方程聯(lián)立消去y，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），根據(jù)韋達(dá)定理可表示出x₁+x₂和x₁x₂，表示出直線F₂M和F₂N的斜率，由直線F₂M與F₂N的斜率互為相反數(shù)，可推斷兩直線斜率之和為0，把x₁+x₂和x₁x₂代入即可求得k和m的關(guān)系，代入直線方程進(jìn)而可求得直線過定點(diǎn)．
解：（1）由橢圓C的離心率得，其中，橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為又點(diǎn)F₂在線段PF₁的中垂線上
解得
        
（2）由題意，知直線MN存在斜率，設(shè)其方程為
由
消去設(shè)
則且
       （8分）
由已知，得
化簡，得
       （10分）
 整理得
 直線MN的方程為，
因此直線MN過定點(diǎn)，該定點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0） （12分）．