Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

3

sinxcosx+cos²x+m，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若x∈[-

π

6

，

π

3

]時(shí)，f（x）_min=2，求函數(shù)f（x）的最大值，并指出x取何值時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象

專(zhuān)題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）首先對(duì)函數(shù)的關(guān)系式進(jìn)行恒等變換，把函數(shù)的關(guān)系式變形成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步求出函數(shù)的最小正周期和單調(diào)區(qū)間．
（2）利用函數(shù)的定義域求出函數(shù)的值域和最值．

解答： 解：（1）f（x）=

3

sinxcosx+cos²x+m，
=

3

2

sin2x+

1+cos2x

2

+m
=sin(2x+

π

6

)+

1

2

+m，
所以：T=

2π

2

=π．
令：-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，（k∈Z）
解得：-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ，
所以：函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]（k∈Z）．
（2）因?yàn)椋簒∈[-

π

6

，

π

3

]時(shí)，
所以：-

π

6

≤2x+

π

6

≤

5π

6

，
當(dāng)2x+

π

6

=-

π

6

時(shí)，函數(shù)的最小值為：-

1

2

+

1

2

+m=2，
解得：m=2，
所以f(x)max=2+

1

2

+1=

7

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)的恒等變換，正弦型函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，利用三角函數(shù)的定義域求函數(shù)的值域和最值．屬于基礎(chǔ)題型．