Question

已知△ABC中A＞B，給出下列不等式：
（1）sinA＞sinB
（2）cosA＜cosB
（3）sin2A＞sin2B
（4）cos2A＜cos2B
正確的有（　�。�

A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)

Answer 1

分析：（1）通過(guò)A＞B，利用正弦定理，推出sinA＞sinB．（2）由A＞B，通過(guò)余弦函數(shù)的單調(diào)性可得cosA＜cosB；（3）由A＞B通過(guò)舉反例說(shuō)明sin2A＞sin2B不正確即可．（4）由A＞B，通過(guò)正弦定理以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，以及二倍角的余弦函數(shù)推出cos2A＜cos2B．

解答：解：由（1），∵A＞B，則a＞b，利用正弦定理可得 a=2rsinA，b=2rsinB，故sinA＞sinB．故（1）正確；
由（2），A＞B，△ABC中，A、B∈（0，π），余弦函數(shù)是減函數(shù)，所以cosA＜cosB，故（2）正確；
對(duì)于（3），例如A=60°，B=45°，滿(mǎn)足A＞B，但不滿(mǎn)足sin2A=

3

2

，sin2B=1，所以（3）sin2A＞sin2B，不正確；
對(duì)于（4），因?yàn)樵凇鰽BC中，A＞B，所以a＞b，利用正弦定理可得 a=2rsinA，b=2rsinB，故sinA＞sinB＞0，所以
sin²A＞sin²B，可得 1-2sin²A＜1-2sin²B，由二倍角公式可得：cos2A＜cos2B，故（4）正確．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查正弦函數(shù)的單調(diào)性，正弦定理，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，三角形中有大角對(duì)大邊，將命題轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．