Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，對任意n∈N^*，都有a_n＞0且，令．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）使乘積b₁•b₂…b_k為整數(shù)的k（k∈N^*）叫“龍數(shù)”，求區(qū)間[1，2012]內(nèi)的所有“龍數(shù)”之和；
（3）判斷b_n與b_n+1的大小關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

解：（1）∵=，
當n=1時，，即，
解得a₁=2，或a₁=-1，
∵a_n＞0，∴a₁=2．
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=，
化簡，得，
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=1，
∴{a_n}是首項為2，公差為1的等差數(shù)列，
∴a_n=2+（n-1）=n+1．
（2）∵=，
∴b₁•b₂…b_k===log₂（k+2），
令log₂（k+2）=m，則k=2^m-2，m∈Z，
由1≤2^m-2≤2012，得3≤2^m≤2014，
∴m=2，3，4，5，…，10．
∴在區(qū)間[1，2012]內(nèi)，k的值為2²-2，2³-2，…，2¹⁰-2，
其和為：（2²-2）+（2³-2）+…+（2¹⁰-2）
=（2²+2³+…+2¹⁰）-2×9
=-18=2026．
（3）∵＞，
∴
=
＜
=
＜=1，
∴b_n＞b_n+1．
分析：（1）=，當n=1時，，即，解得a₁=2，或a₁=-1，由a_n＞0，知a₁=2．當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=，化簡，得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，由a_n＞0，知a_n-a_n-1=1，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）由=，知b₁•b₂…b_k===log₂（k+2），令log₂（k+2）=m，則k=2^m-2，m∈Z，由1≤2^m-2≤2012，得3≤2^m≤2014，故m=2，3，4，5，…，10．由此能求出區(qū)間[1，2012]內(nèi)的所有“龍數(shù)”之和．
（3）由＞，知=＜＜1，故b_n＞b_n+1．
點評：本題考查數(shù)列、不等式知識，考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合的數(shù)學思想，培養(yǎng)學生的抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力和創(chuàng)新意識．