Question

5．已知矩陣P=$（{\begin{array}{l}m&1\\{3m}&{-m}\end{array}}）$，Q=$（{\begin{array}{l}x\\ y\end{array}}）$，M=$（{\begin{array}{l}{-2}\\ m\end{array}}）$，N=$（{\begin{array}{l}1\\{m+3}\end{array}}）$，若PQ=M+N．
（1）寫(xiě)出PQ=M+N所表示的關(guān)于x、y的二元一次方程組；
（2）用行列式解上述二元一次方程組．

Answer 1

分析 （1）利用矩陣的加法、乘法，即可寫(xiě)出PQ=M+N所表示的關(guān)于x、y的二元一次方程組；
（2）用行列式的方法，分類討論解二元一次方程組．

解答 解：（1）由PQ=M+N，得$（{\begin{array}{l}{mx+y}\\{3mx-my}\end{array}}）=（{\begin{array}{l}{-1}\\{2m+3}\end{array}}）$，方程組為$\left\{\begin{array}{l}{mx+y=-1}\\{3mx-my=2m+3}\end{array}\right.$；（3分）
（2）$D=|{\begin{array}{l}m&1\\{3m}&{-m}\end{array}}|=-m（m+3）$，${D_x}=|{\begin{array}{l}{-1}&1\\{2m+3}&{-m}\end{array}}|=-（m+3）$，${D_y}=|{\begin{array}{l}m&{-1}\\{3m}&{2m+3}\end{array}}|=2m（m+3）$（5分）
1°當(dāng)m≠0，且m≠-3時(shí)，D≠0，方程組有唯一解$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{m}}\\{y=-2}\end{array}}\right.$；
2°當(dāng)m=0時(shí)，D=0，但D_x≠0，方程組無(wú)解；
3°當(dāng)m=-3時(shí)，D=D_x=D_y=0，方程組有無(wú)窮多解$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=3t-1}\end{array}\right.$（t∈R）．（8分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查矩陣的加法、乘法，考查用行列式解二元一次方程組，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．