Question

不等式組

x+y≤4 x-y≤2 x≥0，  y≥0

表示的平面區(qū)域的面積為

 

．

Answer 1

考點：簡單線性規(guī)劃

專題：不等式的解法及應用

分析：先標出已知不等式組表示的平面區(qū)域，根據圍成此區(qū)域的多邊形特征探求其面積．

解答： 解：如右圖所示，在同一坐標系中分別作出直線l₁：x+y=4，l₂：x-y=2
于是得到不等式組

x+y≤4 x-y≤2 x≥0，  y≥0

表示的平面區(qū)域，即四邊形OABC（含邊界），
連結AC，則S_{四邊形0ABC}=S_Rt△OAC+S_△ABC，
由A（0，4），C（2，0）知，直線AC的方程為2x+y-4=0，且|AC|=2

5

，
由

x+y=4 x-y=2

得B（3，1），從而點B到直線AC的距離d=

|2×3+1-4|

5

=

3

5

，
所以S_△ABC=

1

2

|AC|•d=

1

2

×2

5

×

3

5

=3，
又S_Rt△OAC=

1

2

|OC|•|OA|=

1

2

×2×4=4，
所以S_{四邊形OABC}=4+3=7，即原不等式組表示的平面區(qū)域的面積為7．
故答案為：7．

點評：1．本題主要考查了不等式組表示的平面區(qū)域的應用，平面內的距離公式等，考查了數形結合思想、化歸思想，解決本題的關鍵有兩個：一是正確作出不等式組表示的平面區(qū)域，二是善于將面積進行轉化．
2．對于面積的求解，首先應弄清區(qū)域的形狀，若為三角形，一般根據“S=

1

2

×底×高”求解，底可以由兩點間距離公式得到，高可以由點到直線的距離公式得到；若為四邊形或四邊以上的多邊形，一般將其拆分為幾個易求的三角形或四邊形求解．