Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=

1

(a＞b＞0)的離心率e=

1

2

，且橢圓過點(1，

3

2

)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若M為橢圓C上的動點，F(xiàn)為橢圓的右焦點，以M為圓心，MF長為半徑作圓M，過點E（-6，0）作圓M的兩條切線EA，EB（A，B為切點），求點M的坐標，使得四邊形EAMB的面積最大．

Answer 1

分析：（1）由題意得，

e= c a = 1 2 1 a2 + 9 4b2 =1 a2=b2+c2

，解方程可求a，b，c，進而可求橢圓的方程
（2）設(shè)M（x₀，y₀），圓M：（x-x₀）²+（y-y₀）²=r²，其中r=|MF|=

(x0-1)2+ y 2 0

，根據(jù)圓的切線的性質(zhì)可求EA，再由S_EAMB=2S_△EAM=

1

2

EA•AM及

y

2 0

=3-

3

4

x

2 0

，從而可把所求的面積轉(zhuǎn)化為關(guān)于x₀的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可求函數(shù)的最值

解答：解：（1）依題意得，

e= c a = 1 2 1 a2 + 9 4b2 =1 a2=b2+c2

…（3分）
解得a=2，b=

3

，c=1，…（4分）
所以橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．           …（5分）
（2）設(shè)M（x₀，y₀），圓M：（x-x₀）²+（y-y₀）²=r²，其中r=|MF|=

(x0-1)2+ y 2 0

|EA|=

|EM|2-r2

=

(x0+6)2+ y 2 0 -r2

=

14x0+35

，（-2≤x₀≤2）…（7分）SEAMB=2S△EAM=2•

1

2

|EA|•|AM|=|EA|•|MF|=

14x0+35

•

(x0-1)2+ y 2 0

…（8分）
又M（x₀，y₀）在橢圓

x2

4

+

y2

3

=1上，則

y

2 0

=3-

3

4

x

2 0

…（9分）
所以SEAMB=

7 2 x 3 0 - 77 4 x 2 0 -14x0+140

，（-2≤x₀≤2）…（10分）
令f(x)=

7

2

x

3 0

-

77

4

x

2 0

-14x0+140，（-2≤x₀≤2）
f′(x)=

21

2

x

2 0

-

77

2

x0-14=

7

2

(3x0+1)(x0-4)，（-2≤x₀≤2）…（11分）
當x0∈[-2，-

1

3

)時，f′（x）＞0，當x0∈(-

1

3

，2]時，f′（x）＜0…（12分）
所以當x0=-

1

3

時，f（x）有最大值，即x0=-

1

3

時，四邊形EAMB面積取得最大值…（13分）
此時點M的坐標為M(-

1

3

，

105

6

)或M(-

1

3

，-

105

6

)…（14分）

點評：本題主要考查了利用橢圓的性質(zhì)求解橢圓的方程，圓的切線的性質(zhì)的應(yīng)用及利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的最值，屬于知識的綜合性應(yīng)用．