Question

15．如圖，已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是棱長為2的菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，H分別是BC和PD上的中點．
（1）求證：EH∥平面PAB；
（2）當四面體ABDH的體積為$\frac{\sqrt{3}}{3}$時，求PA的長．

Answer 1

分析 （1）要證EH∥平面PAB，只要在平面PAB內(nèi)找到一條直線和直線EH平行即可，即采用線面平行的判定定理證明．H、E是棱PD、BC的中點，所以常常用到平行四邊形和中位線．這里可采用構(gòu)造平行四邊形求解．
（2）四面體ABDH可看作以H為頂點的三棱錐H-ABD，H到平面ABD的距離為三棱錐的高，該距離為AP長的一半．所以，可利用三棱錐H-ABD的體積構(gòu)造關(guān)于AP的方程，求解即可．

解答 解法一：
（I）證明：取PA的中點M，連接HM，MB，…（1分）
∵H、M為PD、PA的中點，
∴MH∥AD，且MH=$\frac{1}{2}AD$
又∵底面ABCD是菱形，E為BC中點
∴BE∥AD，且BE=$\frac{1}{2}$AD
∴MH∥BE，且MH=BE
∴四邊形DHMB為平行四邊形     …（3分）
∴EH∥BM       …（4分）
又BM?平面PAB，EH?平面PAB
∴EH∥平面PAB   …（6分）
（2）解：四面體ABDH可看作三棱錐H-ABD
取AD中點G，連接HG，有PA∥HG 且HG=$\frac{1}{2}$PA
∵PA⊥面ABCD∴HG⊥面ABCD
∴HG為三棱錐H-ABD的高．
則V_H-ABD=$\frac{1}{3}{S}_{△ABD}•HG$     …（8分）
=$\frac{1}{3}（\frac{1}{2}{S}_{菱形ABCD}）•（\frac{1}{2}PA）$            
═$\frac{1}{3}（\frac{1}{2}•2•2•sin60°）•（\frac{1}{2}PA）$
═$\frac{\sqrt{3}}{6}PA$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$       …（10分）
∴PA=2     …（12分）
解法二：
（1）證明：取取AD中點G，連接HG、GE
∵HG∥PA，PA?平面PAB，HG?平面PAB
∴HG∥平面PAB …（2分）
又菱形中，GE∥AB，AB?平面PAB，GE?平面PAB
∴GE∥平面PAB …（4分）
∵HG∩GE=G 且 HG、GE?平面HGE
∴平面PAB∥平面HGE …（5分）
又HE?平面HGE
∴EH∥平面PAB  …（6分）
（2）四面體ABDH可看作三棱錐H-ABD，且PA⊥面ABCD
∵H為PD的中點，由比例法可知
 ${V}_{H-ABD}=\frac{1}{2}{V}_{P-ABD}$=$\frac{1}{2}•\frac{1}{3}{•S}_{△ABD}•PA$
═$\frac{1}{6}（\frac{1}{2}•2•2•sin120°）•PA$
═$\frac{\sqrt{3}}{6}PA$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$ …（10分）
∴PA=2 …（12分）

點評 本題考查了直線與平面平行的證明方法，常用的方法是找線線平行，或者構(gòu)造平面，找面面平行．考查了三棱錐體積的計算和方程思想，求體積常用方法：公式法、等體積法、比例法、割補法，本題采用公式法或者比例法．題型較常規(guī)，屬于中檔題．