Question

7．求漸近線方程3x±4y=0，焦點為橢圓$\frac{{x}^{2}}{10}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1在x軸上的一對頂點的雙曲線方程．

Answer 1

分析 求出橢圓在x軸上的一對頂點，可得雙曲線的焦點，設雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），由a，b，c的關系和漸近線方程，解方程可得a，b，進而得到雙曲線的方程．

解答 解：焦點為橢圓$\frac{{x}^{2}}{10}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1在x軸上的一對頂點，
可得雙曲線的焦點為（±$\sqrt{10}$，0），
設雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），
則a²+b²=10，
雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
可得$\frac{a}$=$\frac{3}{4}$，
解方程可得a=$\frac{4\sqrt{10}}{5}$，b=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$，
即有雙曲線的方程為$\frac{5{x}^{2}}{32}$-$\frac{5{y}^{2}}{18}$=1．

點評 本題考查雙曲線的方程的求法，注意運用橢圓的頂點坐標和雙曲線的漸近線方程，以及基本量的關系，考查方程思想，屬于基礎題．