Question

4．（1）計(jì)算：$\frac{{（1+i）}^{3}}{i}$+$\frac{（\sqrt{3}+i）（\sqrt{3}-i）-{4i}^{2016}}{{（3+4i）}^{2}}$
（2）設(shè)復(fù)數(shù)z和它的共軛復(fù)數(shù)$\overline{z}$滿足4z+2$\overline{z}$=3$\sqrt{3}$+i，求復(fù)數(shù)z．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡計(jì)算即可；（2）設(shè)出z=a+bi，得到關(guān)于a，b的方程組，解出即可．

解答 解：（1）$\frac{{（1+i）}^{3}}{i}$+$\frac{（\sqrt{3}+i）（\sqrt{3}-i）-{4i}^{2016}}{{（3+4i）}^{2}}$
=$\frac{2i（1+i）}{i}$+$\frac{（3+1）-4}{{（3+4i）}^{2}}$
=2+i．
（2）設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi，則$\overline{z}$=a-bi，
∵4z+2$\overline{z}$=3$\sqrt{3}$+i，
∴4（a+bi）+2（a-bi）=3$\sqrt{3}$+i，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a+2a=3\sqrt{3}}\\{4b-2b=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{b=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
故z=$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{1}{2}$i．

點(diǎn)評 本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，考查共軛復(fù)數(shù)問題，是一道基礎(chǔ)題．