【題目】已知橢圓Γ: + =1(a>b>0)的離心率與雙曲線x2﹣y2=a2的離心率之和為 ,B1、B2為橢圓Γ短軸的兩個(gè)端點(diǎn),P是橢圓Γ上一動(dòng)點(diǎn)(不與B1、B2重合),直線B1P、B2P分別交直線l:y=4于M、N兩點(diǎn),△B1B2P的面積記為S1 , △PMN的面積記為S2 , 且S1的最大值為4 .
(1)求橢圓Γ的方程;
(2)若S2=λS1 , 當(dāng)λ取最小值時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo).
【答案】
(1)
解:雙曲線的離心率為 ,∴橢圓的離心率為 ,
∴ ,解得a=2 ,b=2,
∴橢圓方程為 .
(2)
解:)設(shè)P(2 cosα,2sinα)(0≤α<2π且α ,α≠ ),B1(0,2),B(0,﹣2),
則直線B1P的方程為y= x+2,直線B2P的方程為y= x﹣2,
∴M( ,4),N( ,4),
|MN|=| ﹣ |=| |,
∴S2= ×|MN|×(4﹣2sinα)= ,又S1= =4 |cosα|,
∴λ= = =( )2,
令f(α)= ,則f′(α)= ,
令f′(α)=0得α= 或α= ,
當(dāng)0 時(shí),f′(α)<0,當(dāng) 時(shí),f′(α)>0,當(dāng) 時(shí),f′(α)>0,
當(dāng) 時(shí),f′(α)<0,當(dāng) 時(shí),f′(α)<0,
∴f(α)在[0, ]上單調(diào)遞減,在( , )上單調(diào)遞增,在( , ]上單調(diào)遞增,在( , )上單調(diào)遞減,在( ,2π)上單調(diào)遞減,
∴當(dāng) 時(shí),f(α)取得極小值f( )= = ,當(dāng)α= 時(shí),f(α)取得極大值f( )= =﹣ ,
∴當(dāng)α= 或 時(shí),|f(α)|取得最小值 ,
∴λ=f2(α)的最小值為 .
∴當(dāng)λ取得最小值時(shí),P點(diǎn)坐標(biāo)為( ,1)或(﹣ ,1).
【解析】(1)根據(jù)橢圓的離心率,S1的面積列方程組,解出a,b即可得出橢圓方程;(2)設(shè)P(2 cosα,2sinα),分別求出直線方程,得出M,N的坐標(biāo),用α表示出S1 , S2 , 從而得到λ關(guān)于α的函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)判斷此函數(shù)的單調(diào)性,得出λ的最小值及其對(duì)應(yīng)的α,從而得出P點(diǎn)坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) 有且僅有四個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線y=1的對(duì)稱點(diǎn)在直線kx+y﹣1=0上,則實(shí)數(shù)k的取值范圍為( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將函數(shù)f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,﹣ <φ< )圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),再向右平移 個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)=cosx的圖象,則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為( )
A.[kπ﹣ ,kπ+ ](k∈Z)
B.[kπ﹣ ,kπ﹣ ](k∈Z)
C.[4kπ﹣ ,kπ﹣ ](k∈Z)
D.[4kπ﹣ ,kπ+ ](k∈Z)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,橢圓C1: =1(a>b>0)的離心率為 ,x軸被曲線C2:y=x2﹣b截得的線段長(zhǎng)等于C1的長(zhǎng)半軸長(zhǎng).
(Ⅰ)求C1 , C2的方程;
(Ⅱ)設(shè)C2與y軸的交點(diǎn)為M,過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線l與C2相交于點(diǎn)A、B,直線MA,MB分別與C1相交于D,E.
(i)證明:MD⊥ME;
(ii)記△MAB,△MDE的面積分別是S1 , S2 . 問:是否存在直線l,使得 = ?請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)和偶函數(shù)g(x)滿足f(x)=2g(x)+ ,若f( )+f(cos2θ)<f(π)﹣f( ),則θ的取值范圍是( )
A.(2kπ+ ,2kπ+ ),k∈Z
B.(2kπ﹣ ,2kπ)∪(2kπ,2kπ+π)∪(2kπ+π,2kπ+ π),k∈Z
C.(2kπ﹣ ,2kπ﹣ ),k∈Z
D.(2kπ﹣ ,2kπ﹣π)∪(2kπ﹣π,2kπ)∪(2kπ,2kπ+ ),k∈Z
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在海岸處發(fā)現(xiàn)北偏東方向,距處海里的處有一艘走私船.在處北偏西方向,距處海里的處的我方緝私船奉命以海里小時(shí)的速度追截走私船,此時(shí)走私船正以海里小時(shí)的速度從處向北偏東方向逃竄.問:緝私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船?并求出所需時(shí)間.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,以O(shè)為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線C:ρsin2θ=2acosθ(a>0),l: (t為參數(shù))
(1)求曲線C的普通方程,l的直角坐標(biāo)方程
(2)設(shè)l與C交于M,N兩點(diǎn),點(diǎn)P(﹣2,0),若|PM|,|MN|,|PN|成等比數(shù)列,求實(shí)數(shù)a的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且滿足(2c﹣a)cosB﹣bcosA=0.
(Ⅰ)求角B的大;
(Ⅱ)求 sinA+sin(C﹣ )的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在極坐標(biāo)系中,圓C的方程為ρ=4cosθ,以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),極軸為x軸的非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系,直線l經(jīng)過點(diǎn)M(5,6),且斜率為 .
(1)求圓 C的平面直角坐標(biāo)方程和直線l的參數(shù)方程;
(2)若直線l與圓C交于A,B兩點(diǎn),求|MA|+|MB|的值.
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