（本小題滿分12分）

已知點是橢圓的右焦點，點、分別是軸、軸上的動點，且滿足．若點滿足．

（1）求點的軌跡的方程；

（2）設過點任作一直線與點的軌跡交于、兩點，直線、與直線 分別交于點、（為坐標原點），試判斷是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由．

 

【答案】

（1）；（2）的值是定值，且定值為．

【解析】第一問中利用向量的數(shù)量積為0，也就是向量的垂直關系式得到由，得，然后設所求點的坐標的坐標為，由，有

代入，得，采用了消元的思想得到軌跡方程。

第二問中，設出直線方程，利用直線與拋物線聯(lián)立方程組得到為定值。

解：（1）橢圓右焦點的坐標為，………………1分

．

，

由，得．                 …………………………2分

設點的坐標為，由，有，

代入，得．           …………………………4分

（2）（法一）設直線的方程為，．，

則，．                ………………………………5分

由，得， 同理得．…………………………7分

，，則．  ………8分

由，得，．   ……………………9分

則．           …………………………11分

因此，的值是定值，且定值為．         ………………………12分

    （法二）①當時， ．，則，   ．

由 得點的坐標為，則．

由 得點的坐標為，則．

．  ………………………………………6分

②當不垂直軸時，設直線的方程為，．，同解法一，得．  ……………8分

由，得，．……………………10分

則．           …………………………11分

因此，的值是定值，且定值為．        …………………………12分

 

練習冊系列答案
相關習題

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（文） （本小題滿分12分已知函數(shù)y=4-2
3
sinx•cosx-2sin2x(x∈R)，
（1）求函數(shù)的值域和最小正周期；
（2）求函數(shù)的遞減區(qū)間．

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（2011•自貢三模）（本小題滿分12分＞
設平面直角坐標中，O為原點，N為動點，|
ON
|=6，
ON
=
5
•
OM
．過點M作MM1丄y軸于M1，過N作NN1⊥x軸于點N1，
OT
=
M1M
+
N1N
，記點T的軌跡為曲線C．
（I）求曲線C的方程：
（H）已知直線L與雙曲線C：5x2-y2=36的右支相交于P、Q兩點（其中點P在第-象限）．線段OP交軌跡C于A，若
OP
=3
OA
，S△PAQ=-26tan∠PAQ求直線L的方程．

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（本小題滿分12分）已知函數(shù)，且。①求的最大值及最小值；②求的在定義域上的單調區(qū)間.

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（2009湖南卷文）（本小題滿分12分）

為拉動經濟增長，某市決定新建一批重點工程，分別為基礎設施工程、民生工程和產業(yè)建設工程三類，這三類工程所含項目的個數(shù)分別占總數(shù)的、、.現(xiàn)有3名工人獨立地從中任選一個項目參與建設.求：

（I）他們選擇的項目所屬類別互不相同的概率；    w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

（II）至少有1人選擇的項目屬于民生工程的概率.

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（本小題滿分12分）

某民營企業(yè)生產A，B兩種產品，根據(jù)市場調查和預測，A產品的利潤與投資成正比，其關系如圖1，B產品的利潤與投資的算術平方根成正比，其關系如圖2，

（注：利潤與投資單位是萬元）

（1）分別將A，B兩種產品的利潤表示為投資的函數(shù)，并寫出它們的函數(shù)關系式.（2）該企業(yè)已籌集到10萬元資金，并全部投入到A，B兩種產品的生產，問：怎樣分配這10萬元投資，才能使企業(yè)獲得最大利潤，其最大利潤為多少萬元.

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