Question

已知三次函數(shù)f（x）=4x³+ax²+bx+c（a，b，c∈R）．
（1）如果f（x）是奇函數(shù)．b=-3，過點(diǎn)（2，10）作y=f（x）圖象的切線l，求切線l的方程；
（2）當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，f（x）滿足-1≤f（x）≤1，求a，b，c的所有可能的取值．

Answer 1

分析：（1）由f（x）是奇函數(shù)，可求出f（x）是奇函數(shù)，結(jié)合b=-3，設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，求出切線斜率，結(jié)合切線過點(diǎn)（2，10）可得切線l的方程；
（2）由-1≤x≤1時(shí)，f（x）滿足-1≤f（x）≤1，可知當(dāng)x=±1，x=±

1

2

時(shí)，均有-1≤f（x）≤1，進(jìn)而可得a，b，c的值．

解答：解：（1）∵f（x）是奇函數(shù)．
由f（-x）=-f（x）得
-4x³+ax²-bx+c=-（4x³+ax²+bx+c）
∴a=c=0，
又∵b=-3
∴f（x）=4x³-3x
∴f′（x）=12x²-3
設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為P（t，4t³-3t），則切線l的方程為：
y-（4t³-3t）=（12t²-3）（x-t）
將點(diǎn)（2，10）代入得10-（4t³-3t）=（12t²-3）（2-t）
即（t-1）（t²-2t-2）=0，
解得t=1或t=1±

3

故切線l有三條，它們分別為
9x-y-8=0，（45+24

3

）x-y-80-48

3

=0，（45-24

3

）x-y-80+48

3

=0，
（2）∵當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，f（x）滿足-1≤f（x）≤1，
∴當(dāng)x=±1，x=±

1

2

時(shí)，均有-1≤f（x）≤1，
即-1≤4+a+b+c≤1…①，
-1≤-4+a-b+c≤1
即-1≤4-a+b-c≤1…②，
-1≤

1

2

+

1

4

a+

1

2

b+c≤1…③，
-1≤-

1

2

+

1

4

a-

1

2

b+c≤1
-1≤

1

2

-

1

4

a+

1

2

b-c≤1…④，
①+②得：-2≤8+2b≤2，即b≤-3
③+④得：-2≤1+2b≤2，即b≥-3
∴b=-3…⑤
將⑤代入①得-2≤a+c≤0
將⑤代入②得0≤a+c≤2
將⑤代入③得0≤

1

4

a+c≤2
將⑤代入④得-2≤

1

4

a+c≤0
解得a=c=0
綜上，a=0，b=-3，c=0

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，熟練掌握求過某點(diǎn)切線方程的方法和步驟是解答的關(guān)鍵．