Question

（2006•朝陽區(qū)三模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量

OF

=（c，0）（c為常數(shù)，且c＞0），

OG

=（x，x）（x∈R），
|

FG

|的最小值為  1 ，  

OE

=(

a2

c

，  t)（a為常數(shù)，且a＞c，t∈R）．動(dòng)點(diǎn)P同時(shí)滿足下列三個(gè)條件：（1）|

PF

|=

c

a

|

PE

|；（2）

PE

=λ

OF

（λ∈R，且λ≠0）；（3）動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C經(jīng)過點(diǎn)B（0，-1）．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）是否存在方向向量為

m

=（1，k）（k≠0）的直線l，l與曲線C相交于M、N兩點(diǎn)，使|

BM

|=|

BN

|，且

BM

與

BN

的夾角為60°？若存在，求出k值，并寫出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（I）利用向量的模的計(jì)算公式和二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出c，由

OE

=(

a2

c

， t) (t∈R)，可知點(diǎn)E在直線 x=

a2

c

上．
由（1）、（2）和橢圓的第二定義可知，點(diǎn)P的軌跡C是橢圓．得出即可．
（II）假設(shè)存在符合條件的直線l，并設(shè)l的方程為：y=kx+m，M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），把直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立可得△＞0及根與系數(shù)的關(guān)系，再利用垂直平分線的性質(zhì)可得線段MN的垂直平分線的方程，根據(jù)△BMN為等邊三角形．可得點(diǎn)B到直線MN的距離d=

3

2

|MN|．再利用點(diǎn)到直線的距離公式和弦長公式即可得出．

解答：解：（Ⅰ）∵|

FG

|=

(x-c)2+x2

=

2(x- c 2 )2+ c2 2

≥

2

2

c，
∴

2

2

c=1 ，  即c=

2

．
由

OE

=(

a2

c

， t) (t∈R)，可知點(diǎn)E在直線 x=

a2

c

上．
由（1）、（2）可知點(diǎn)P到直線x=

a2

c

距離與到點(diǎn)F的距離之比為

a

c

(a＞c＞0)，
再由橢圓的第二定義可知，點(diǎn)P的軌跡C是橢圓．
設(shè)橢圓C的方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1，其中b²=a²-c²．
由（3）可知b=1，∴a²=b²+c²=1+2=3．∴橢圓C的方程為：

x2

3

+y2=1．
（Ⅱ）假設(shè)存在符合條件的直線l，并設(shè)l的方程為：y=kx+m，M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），

y=kx+m x2+3y2=3

，  消去y，  得(1+3k2)x2+6kmx+3m2-3=0．
則x₁+x₂=-

6km

1+3k2

 ，   x1x2=

3m2-3

1+3k2

．
△=36k²m²-12（m²-1）（1+3k²）=12[3k²-m²+1]＞0     ①
設(shè)線段MN的中點(diǎn)G（x₀，y₀），x₀=

x1+x2

2

=-

3km

1+3k2

，   y0=kx0+m=-

3k2m

1+3k2

+m=

m

1+3k2

，
線段MN的垂直平分線的方程為：y-

m

1+3k2

=-

1

k

(x+

3km

1+3k2

)．
∵|

BM

|=|

BN

|，∴線段MN的垂直平分線過B（0，-1）點(diǎn)．
∴-1-

m

1+3k2

=-

1

k

•

3km

1+3k2

=-

3m

1+3k2

．
∴m=

1+3k2

2

．②
②代入①，得3k²-（

1+3k2

2

)2+1＞0 ，  解得-1＜k＜1 ， 且k≠0．③
∵|

BM

|=|

BN

|，  且

BM

與

BN

的夾角為60°，∴△BMN為等邊三角形．
∴點(diǎn)B到直線MN的距離d=

3

2

|MN|．
∵d=

|1+m|

1+k2

=

|1+ 1+3k2 2 |

1+k2

=

3

2

1+k2

，
又∵|MN|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

•

(- 6km 1+3k2 )2-4• 3m2-3 1+3k2

=

1+k2 1+3k2

12(3k2-m2+1)

═

1+k2

1+3k2

12[3k2-( 1+3k2 2 )2+1]

=3

1+k2

1+3k2

1-k2

，
∴

3

2

1+k2

=

3 3

2

1+k2

1+3k2

1-k2

．
解得k²=

1

3

，即k=±

3

3

，滿足③式．代入②，得m=

1+3k2

2

=

1+1

2

=1．
直線l的方程為：y=±

3

3

x+1．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓線相交問題轉(zhuǎn)化為把直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系及△＞0、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、分類討論思想方法等是解題的關(guān)鍵．