已知f（x）是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對于任意的a，b∈R，都滿足；f（a·b）＝af（b）＋bf（a）

　　（1）求f（0），f（1）的值；

　　（2）判斷f（x）的奇偶性，并證明你的結(jié)論；

　�。�3）若f（2）＝2， n（n∈N*），求數(shù)列的前n項(xiàng)的和．

 

答案：
解析：

（1）解：．

因?yàn)?img align="absmiddle" width=207 height=21 src="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/6060/0014/0074/1a807398c40b5ae037b99b3172d353b2/C/image004.gif" v:shapes="_x0000_i1029">，所以f（1）＝0．

（2）f（x）是奇函數(shù)． 

證明：因?yàn)?img align="absmiddle" width=241 height=24 src="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/6060/0014/0074/1a807398c40b5ae037b99b3172d353b2/C/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1030">，

　　所以f（－1）＝0，，

因此，f（x）為奇函數(shù)．

（3）解：由，

，

猜測．下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

1．當(dāng)n＝1時(shí)，，公式成立；

2．假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，成立，那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)，，公式仍成立．

由上兩步可知，對任意，成立，所以．因?yàn)?i>f(2)＝2，，所以＝＝，，因此．

 


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）是定義在（-4，4）上的奇函數(shù)，它在定義域內(nèi)單調(diào)遞減 若a滿足f（1-a）+f（2a-3）小于0，求a的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，且f（1）=1，若a，b∈[-1，1]，a+b≠0時(shí)，都有
f(a)+f(b)
a+b
＞0．
（1）證明函數(shù)a=1在f（x）=-x2+x+lnx上是增函數(shù)；
（2）解不等式：f（
1
x-1
）＞0，x∈（0，+∞）；
（3）若f′(x)=-2x+1+
1
x
=-
2x2-x-1
x
對所有f'（x）=0，任意x=-
1
2
恒成立，求實(shí)數(shù)x=1的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

8、已知f（x）是定義在R上的函數(shù)，f（1）=1，且對任意x∈R都有f（x+5）≥f（x）+5，f（x+1）≤f（x）+1．若g（x）=f（x）+1-x，則g（2009）=（　�。�

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）是定義在實(shí)數(shù)集R上的增函數(shù)，且f（1）=0，函數(shù)g（x）在（-∞，1]上為增函數(shù)，在[1，+∞）上為減函數(shù)，且g（4）=g（0）=0，則集合{x|f（x）g（x）≥0}=（　�。�

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）是定義在（-∞，+∞）上的偶函數(shù)，且在（-∞，0）上是增函數(shù)，設(shè)a=f（log47），b=f(log
12
3)，c=f（0.2-0.6），則a，b，c的大小關(guān)系
a＞b＞c
a＞b＞c
．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案