Question

已知函數(shù)f(x)=lnx-

a

x

+

a

x2

（a∈R）．
（1）若a=1，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）若f（x）在[1，+∞）內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）對(duì)于n∈N^*，求證：

1

(1+1)2

+

2

(2+1)2

+

3

(3+1)2

…+

n

(n+1)2

＜ln(n+1)．

Answer 1

分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，得到函數(shù)有極小值0，無極大值．
（2）由條件可知f^′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，得到a的范圍．
（3）當(dāng)a=1時(shí)，由（2）知，f（x）在[1，+∞）內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)，即x＞1時(shí)，f（x）＞f（1）=0，即lnx＞

1

x

-

1

x2

(x＞1)，就可以得到結(jié)論．

解答：解：f′(x)=

1

x

+

a

x2

-

2a

x3

=

x2+ax-2a

x3

(x＞0)
（1）若a=1，f′(x)=

x2+x-2

x3

，令f^′（x）=0，得x=1或x=-2（負(fù)值舍去）
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f^′（x）＜0；當(dāng)x＞1時(shí)，f^′（x）＞0
∴f（x）的極小值為f（1）=0，無極大值．
（2）∵f（x）在[1，+∞）內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)
∴f′(x)=

x2+ax-2a

x3

≥0在[1，+∞）上恒成立
即x²+ax-2a≥0在[1，+∞）上恒成立
令g（x）=x²+ax-2a
當(dāng)-

a

2

≤1即a≥-2時(shí)，g（1）≥0，得a≤1，∴-2≤a≤1
當(dāng)-

a

2

＞1即a＜-2時(shí)，g(-

a

2

)≥0，得-8≤a≤0，∴-8≤a＜-2
綜上a的取值范圍是[-8，1]
（3）當(dāng)a=1時(shí)，由（2）知，f（x）在[1，+∞）內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)
即x＞1時(shí)，f（x）＞f（1）=0
即lnx＞

1

x

-

1

x2

(x＞1)
取x=

n+1

n

(n∈N*)
∵

n+1

n

＞1
∴ln

n+1

n

＞

n

n+1

-

n2

(n+1)2

=

n

(n+1)2

∴

n

i=1

i

(i+1)2

＜ln

2

1

+ln

3

2

+…+ln

n+1

n

=ln(n+1)

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值、函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系的應(yīng)用、數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用，用到了分類討論、等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想和方法．