曲線C上的動點P到定點Q（1，0）與它到直線x+1=0的距離相等．求：
（1）曲線C的方程；
（2）過點Q的直線l與曲線C交于A、B兩點，求證：
OA
•
OB
為定值．
（溫馨提示：
a
={x1，y1}
b
={x2，y2}，則
a
•
b
=x1x2+y1y2）
分析：（1）由曲線C上的動點P到定點Q（1，0）與它到直線x+1=0的距離相等能求出曲線C的方程．
（2）設(shè)l：y=k（x-1）代入y2=4x得kx2-（2k2+4）x+k2=0．由此能夠證明
OA
•
OB
為定值．
解答：解：分（1）∵曲線C上的動點P到定點Q（1，0）與它到直線x+1=0的距離相等，
∴曲線C的方程是y2=4x…4分
（2）設(shè)l：y=k（x-1），
代入y2=4x，
得kx2-（2k2+4）x+k2=0…6分
設(shè)A（x1，y1）B（x2，y2），
則x1+x2=2+
4
k2
，x1x2=1，
∴
OA
•
OB
=x1x2+y1y2=(k2+1)x1x2-k2(x1+x2)+k2=-3…9分
當(dāng)l斜率不存在時，也成立∴
OA
•
OB
=-3．…10分
點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合運(yùn)用，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，在直角坐標(biāo)系xOy中，射線OA在第一象限，且與x軸的正半軸成定角60°，動點P在射線OA上運(yùn)動，動點Q在y軸的正半軸上運(yùn)動，△POQ的面積為2
3
．
（1）求線段PQ中點M的軌跡C的方程；
（2）R1，R2是曲線C上的動點，R1，R2到y(tǒng)軸的距離之和為1，設(shè)u為R1，R2到x軸的距離之積．問：是否存在最大的常數(shù)m，使u≥m恒成立？若存在，求出這個m的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知曲線C上的動點P到點F（2，0）的距離比它到直線x=-1的距離大1．
（I）求曲線C的方程；
（II）過點F（2，0）且傾斜角為α(0＜α＜
π2
)的直線與曲線C交于A，B兩點，線段AB的垂直平分線m交x軸于點P，證明：|FP|-|FP|•cos2α為定值，并求出此定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：山東省濟(jì)寧市金鄉(xiāng)二中2012屆高三11月月考數(shù)學(xué)理科試題 題型：044

已知曲線C上的動點P到點F(2，0)的距離比它到直線x＝－1的距離大1．

(Ⅰ)求曲線C的方程；

(Ⅱ)過點F(2，0)且傾斜角為α(0＜α＜)的直線與曲線C交于A，B兩點，線段AB的垂直平分線m交x軸于點P，證明：|FP|－|FP|·cos2α為定值，并求出此定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：山東省月考題 題型：解答題

已知曲線C上的動點P到點F（2，0）的距離比它到直線x=﹣1的距離大1．
（I）求曲線C的方程；
（II）過點F（2，0）且傾斜角為的直線與曲線C交于A，B兩點，線段AB的垂直平分線m交x軸于點P，證明：|FP|﹣|FP|·cos2α為定值，并求出此定值

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