Question

已知點H（-6，0），點P（0，b）在y軸上，點Q（a，0）在x軸的正半軸上，且滿足

HP

⊥

PQ

，點M在直線PQ上，且滿足

PM

=2

MQ

．
（Ⅰ）當點P在y軸上移動時，求點M的軌跡方程；
（Ⅱ）若點M在曲線C：

x=3cost y= 2 sint

（t為參數(shù)）上，求點M對應的參數(shù)t（0＜t＜2π）的值．

Answer 1

考點：參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標系和參數(shù)方程

分析：對第（Ⅰ）問，先設點M坐標為（x，y），寫出向量

HP

，

PQ

，

PM

，

MQ

的坐標，由

HP

⊥

PQ

及

PM

=2

MQ

得到三個方程，消去a，b，可得x與y的關系式；
對第（Ⅱ）問，由題意知，點M為第（Ⅰ）問中所求軌跡與曲線C的交點，可聯(lián)立此兩曲線的方程，消去x與y，即得參數(shù)t的值．

解答： 解析：（Ⅰ）設點M的坐標為（x，y），
則

HP

=(6，b)，

PQ

=(a，-b)，

PM

=(x，y-b)，

MQ

=(a-x，-y)，
由

HP

⊥

PQ

，得（6，b）•（a，-b）=0，從而6a-b²=0，即a=

b2

6

．…①
由

PM

=2

MQ

，得（x，y-b）=2（a-x，-y），從而

x=2(a-x) y-b=-2y

，即

a= 3 2 x b=3y

，…②
將①式代入②式中，得

b2=9x b=3y

，消去b，得y²=x，
又由點Q（a，0）在x軸的正半軸上知，a＞0，從而x＞0，
故點M的軌跡C的方程為y²=x（x＞0）．　　　　　　　　　
（Ⅱ）依題意，將

x=3cost y= 2 sint

代入y²=x（x＞0）中，
得2sin²t=3cost，即2cos²t+3cost-2=0，
解得cost=

1

2

，
又0＜t＜2π，∴t=

π

3

，

5π

3

，
即點M對應的參數(shù)t（0＜t＜2π）的值為

π

3

，

5π

3

．

點評：1．求軌跡方程的一般步驟是：
（1）建系：建系的一般原則是，盡量使題設中的點、線在坐標軸上，本題中坐標系已經(jīng)建好；
（2）設點：已知圖形中的點常設為（x₀，y₀），（x₁，y₁），（x₂，y₂）等，軌跡上任意一點可設M（x，y）；
（3）列式：即尋找x與y的等量關系，本題通過消參的方式得到了x與y的等量關系，這是最關鍵的一步；
（4）化簡并檢驗：舍去多余的值，增加遺漏的值，如本題中“x=0”是不合題意的，應舍去．
2．第（Ⅱ）問考查了參數(shù)方程的應用，對于兩曲線的交點問題，若是求交點坐標，一般是消參后，解兩普通方程構成的方程組，或求參數(shù)的值，將參數(shù)的值代入?yún)��?shù)方程中，均可得交點坐標；若是求參數(shù)方程中參數(shù)的值，一般是將參數(shù)方程代入普通方程中，消去x與y，即可得參數(shù)的值．