Question

已知曲線C₁：y=

x2

e

+e（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），曲線C₂：y=2elnx和直線l：y=2x．
（1）求證：直線l與曲線C₁，C₂都相切，且切于同一點(diǎn)；
（2）設(shè)直線x=t（t＞0）與曲線C₁，C₂及直線l分別相交于M，N，P，記f（t）=|PM|-|NP|，求f（t）在[e^-3，e³]上的最大值；
（3）設(shè)直線x=e^m（m=0，1，2，3┅┅）與曲線C₁和C₂的交點(diǎn)分別為A_m和B_m，問(wèn)是否存在正整數(shù)n，使得A₀B₀=A_nB_n？若存在，求出n；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． （本小題參考數(shù)據(jù)e≈2.7）．

Answer 1

（1）證明：y=

x2

e

+ey′=

2x

e

由y′=

2x

e

=2得x=e（2分）
在C₁上點(diǎn)（e，2e）處的切線為y-2e=2（x-e），即y=2x（3分）
又在C₂上點(diǎn)（e，2e）處切線可計(jì)算得y-2e=2（x-e），即y=2x
∴直線l與C₁、C₂都相切，且切于同一點(diǎn)（e，2e）（4分）
（2）f(t)=

t2

e

+e-2t-(2t-2elnt)=

t2

e

+2elnt-4t+ef′(t)=

2t

e

+2e

1

t

-4=

2t2+2e2-4et

et

=

2(t-e)2

et

≥0（6分）
∴f（t）在[e^-3，e³]上遞增
∴當(dāng)t=e³時(shí)f(t)max=

e6

e

+2elne3-4e3+e=e5-4e3+7e（8分）
（3）AnBn=

(en)2

e

+e-2elnen=

(e2)n

e

+e-2ne
設(shè)上式為g（n），假設(shè)n取正實(shí)數(shù)，則g′(n)=

(e2)n

e

•lne2-2e=

2(e2n-e2)

e

當(dāng)n∈（0，1）時(shí)，g′（n）＜0，∴g（n）遞減；
當(dāng)n∈（1，+∞），g′（n）＞0，∴g（n）遞增．（12分）
g(0)=A0B0=e+

1

e

g（1）=2e-2e=0g(2)=e3+e-4e=e3-3e≈2.72e-3e＞2e＞e+

1

e

∴不存在正整數(shù)n，使得g（m）=g（0）
即A_nB_n=A₀B₀．（14分）