Question

如圖①所示，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，CD為∠ACB的平分線，點E在線段AC上，CE＝4.如圖②所示，將△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，連結AB，設點F是AB的中點．
圖①圖②
(1)求證：DE⊥平面BCD；
(2)若EF∥平面BDG，其中G為直線AC與平面BDG的交點，求三棱錐B-DEG的體積．

Answer 1

（1）見解析（2）

(1)證明：在題圖①中，
∵AC＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，∴∠ACB＝60°.
∵CD為∠ACB的平分線，
∴∠BCD＝∠ACD＝30°.∴CD＝2.
∵CE＝4，∠DCE＝30°，∴DE＝2.
則CD²＋DE²＝EC².∴∠CDE＝90°.DE⊥DC.
在題圖②中，∵平面BCD⊥平面ACD，平面BCD∩平面ACD＝CD，DE平面ACD，∴DE⊥平面BCD.

(2)解：在題圖②中，∵EF∥平面BDG，EF平面ABC，平面ABC∩平面BDG＝BG，∴EF∥BG.
∵點E在線段AC上，CE＝4，點F是AB的中點，
∴AE＝EG＝CG＝2.
作BH⊥CD交于H.∵平面BCD⊥平面ACD，
∴BH⊥平面ACD.由條件得BH＝.S_△DEG＝S_△ACD＝×AC·CD·sin30°＝.
三棱錐B-DEG的體積V＝S_△DEG·BH＝××＝